与えられた放物線を平行移動した後の放物線の式を求めたり、元の放物線からどのように平行移動すれば別の放物線になるかを求める問題です。具体的には、以下の3つの問題があります。 (1) 放物線 $y = 2x^2 + 1$ を $x$軸方向に1、$y$軸方向に-2だけ平行移動した放物線の式を求めます。 (2) 放物線 $y = -2(x + 1)^2$ を $x$軸方向に2、$y$軸方向に-3だけ平行移動した放物線の式を求めます。 (3) 放物線 $y = -4(x - 2)^2 - 1$ のグラフをどのように平行移動すると、$y = -4x^2$ のグラフになるか求めます。 さらに、もうワンランク上の問題として 放物線を$x$軸方向に-2, $y$軸方向に3だけ平行移動すると、放物線$y = -2(x+3)^2 - 1$ となる。平行移動前の放物線の式を求めます。

1. 問題の内容

与えられた放物線を平行移動した後の放物線の式を求めたり、元の放物線からどのように平行移動すれば別の放物線になるかを求める問題です。具体的には、以下の3つの問題があります。

(1) 放物線 $y = 2x^2 + 1$ を $x$軸方向に1、$y$軸方向に-2だけ平行移動した放物線の式を求めます。

(2) 放物線 $y = -2(x + 1)^2$ を $x$軸方向に2、$y$軸方向に-3だけ平行移動した放物線の式を求めます。

(3) 放物線 $y = -4(x - 2)^2 - 1$ のグラフをどのように平行移動すると、$y = -4x^2$ のグラフになるか求めます。

さらに、もうワンランク上の問題として

放物線を$x$軸方向に-2, $y$軸方向に3だけ平行移動すると、放物線$y = -2(x+3)^2 - 1$ となる。平行移動前の放物線の式を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 平行移動の公式を利用します。$x$軸方向に $p$, $y$軸方向に $q$ だけ平行移動する場合、$x$ を $x - p$, $y$ を $y - q$ に置き換えます。

$y = 2x^2 + 1$ を $x$軸方向に1、$y$軸方向に-2だけ平行移動するので、$x$ を $x - 1$, $y$ を $y - (-2) = y + 2$ に置き換えます。

すると、$y + 2 = 2(x - 1)^2 + 1$ となります。これを $y$ について解けば、平行移動後の放物線の式が得られます。

(2) 同様に、平行移動の公式を利用します。

$y = -2(x + 1)^2$ を $x$軸方向に2、$y$軸方向に-3だけ平行移動するので、$x$ を $x - 2$, $y$ を $y - (-3) = y + 3$ に置き換えます。

すると、$y + 3 = -2((x - 2) + 1)^2$ となります。これを $y$ について解けば、平行移動後の放物線の式が得られます。

(3) 頂点の移動に着目します。$y = -4(x - 2)^2 - 1$ の頂点は $(2, -1)$ であり、$y = -4x^2$ の頂点は $(0, 0)$ です。したがって、$(2, -1)$ を $(0, 0)$ に移動させる平行移動を考えればよいです。これは、$x$軸方向に -2、$y$軸方向に 1 だけ平行移動することに対応します。

もうワンランク上の問題:

$y = -2(x+3)^2 - 1$は、平行移動後の放物線なので、$x$を$x+2$, $y$を$y-3$で置き換えます。

$y - 3 = -2((x+2) + 3)^2 - 1$

$y = -2(x+5)^2 - 1 + 3$

$y = -2(x+5)^2 + 2$

3. 最終的な答え

(1) $y = 2(x - 1)^2 - 1$

(2) $y = -2(x - 1)^2 - 3$

(3) $x$軸方向に -2, $y$軸方向に 1 だけ平行移動

もうワンランク上の問題:

$y = -2(x+5)^2 + 2$