(1) 放物線 $y = 2x^2 + 1$ を $x$ 軸方向に $-1$, $y$ 軸方向に $-2$ だけ平行移動した放物線の式を求めます。 (2) 放物線 $y = -2(x+1)^2$ を $x$ 軸方向に $2$, $y$ 軸方向に $-3$ だけ平行移動した放物線の式を求めます。 (3) $y = -4(x-2)^2 - 1$ のグラフをどのように平行移動すると, $y = -4x^2$ のグラフになるか求めます。 (4) 放物線を $x$ 軸方向に $-2$, $y$ 軸方向に $3$ だけ平行移動すると, $y = -2(x+3)^2 - 1$ となる。平行移動前の放物線の式を求めます。

1. 問題の内容

(1) 放物線 $y = 2x^2 + 1$ を $x$ 軸方向に $-1$, $y$ 軸方向に $-2$ だけ平行移動した放物線の式を求めます。

(2) 放物線 $y = -2(x+1)^2$ を $x$ 軸方向に $2$, $y$ 軸方向に $-3$ だけ平行移動した放物線の式を求めます。

(3) $y = -4(x-2)^2 - 1$ のグラフをどのように平行移動すると, $y = -4x^2$ のグラフになるか求めます。

(4) 放物線を $x$ 軸方向に $-2$, $y$ 軸方向に $3$ だけ平行移動すると, $y = -2(x+3)^2 - 1$ となる。平行移動前の放物線の式を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $x$ 軸方向に $-1$, $y$ 軸方向に $-2$ だけ平行移動するには, $x$ を $x+1$ に, $y$ を $y+2$ に置き換えます。

$y+2 = 2(x+1)^2 + 1$

$y = 2(x+1)^2 + 1 - 2$

$y = 2(x+1)^2 - 1$

$y = 2(x^2 + 2x + 1) - 1$

$y = 2x^2 + 4x + 2 - 1$

$y = 2x^2 + 4x + 1$

(2) $x$ 軸方向に $2$, $y$ 軸方向に $-3$ だけ平行移動するには, $x$ を $x-2$ に, $y$ を $y+3$ に置き換えます。

$y+3 = -2(x-2+1)^2$

$y+3 = -2(x-1)^2$

$y = -2(x-1)^2 - 3$

$y = -2(x^2 - 2x + 1) - 3$

$y = -2x^2 + 4x - 2 - 3$

$y = -2x^2 + 4x - 5$

(3) $y = -4(x-2)^2 - 1$ の頂点は $(2, -1)$ であり, $y = -4x^2$ の頂点は $(0, 0)$ です。

したがって, $x$ 軸方向に $-2$, $y$ 軸方向に $1$ だけ平行移動すると, $y = -4x^2$ になります。

(4) 平行移動後の式が $y = -2(x+3)^2 - 1$ であり, $x$ 軸方向に $-2$, $y$ 軸方向に $3$ だけ平行移動した結果なので, 平行移動前の式は, $x$ を $x+2$ に, $y$ を $y-3$ に置き換えることで得られます。

$y - 3 = -2(x+2+3)^2 - 1$

$y - 3 = -2(x+5)^2 - 1$

$y = -2(x+5)^2 - 1 + 3$

$y = -2(x+5)^2 + 2$

$y = -2(x^2 + 10x + 25) + 2$

$y = -2x^2 - 20x - 50 + 2$

$y = -2x^2 - 20x - 48$

3. 最終的な答え

(1) $y = 2x^2 + 4x + 1$

(2) $y = -2x^2 + 4x - 5$

(3) $x$ 軸方向に $-2$, $y$ 軸方向に $1$

(4) $y = -2x^2 - 20x - 48$