$x+y=s$, $xy=t$ とおく。以下の連立不等式を満たす点 $(x, y)$ があるとき、 * $x > 0$ * $y \le \frac{4}{x}$ * $(x-1)^2 + (y-1)^2 \le 25$ (1) 点 $(s, t)$ が動く範囲を $st$ 平面上に図示せよ。 (2) $\alpha$ を正の実数とするとき、$x^2 + y^2 + (\alpha + 2)xy$ の最大値を $\alpha$ を用いた式で表せ。

1. 問題の内容

$x+y=s$, $xy=t$ とおく。以下の連立不等式を満たす点 $(x, y)$ があるとき、

* $x > 0$

* $y \le \frac{4}{x}$

* $(x-1)^2 + (y-1)^2 \le 25$

(1) 点 $(s, t)$ が動く範囲を $st$ 平面上に図示せよ。

(2) $\alpha$ を正の実数とするとき、$x^2 + y^2 + (\alpha + 2)xy$ の最大値を $\alpha$ を用いた式で表せ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、与えられた条件から $x, y$ が満たすべき条件を $s, t$ で表現する。

$x+y = s$, $xy = t$ より、$x, y$ は $u$ の二次方程式 $u^2 - su + t = 0$ の2つの実数解である。

実数解を持つ条件は判別式 $D = s^2 - 4t \ge 0$ である。したがって、$t \le \frac{s^2}{4}$。

$x > 0$ より、$y \le \frac{4}{x}$ は $xy \le 4$ と同値であり、$t \le 4$。

$(x-1)^2 + (y-1)^2 \le 25$ は $x^2 - 2x + 1 + y^2 - 2y + 1 \le 25$, つまり $x^2 + y^2 - 2(x+y) - 23 \le 0$ である。

$x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = s^2 - 2t$ を用いると、$s^2 - 2t - 2s - 23 \le 0$ となり、$t \ge \frac{s^2 - 2s - 23}{2}$。

$x > 0$ より、$s=x+y > y$ なので、$s$は制限されない。

したがって、$st$ 平面上での領域は、

$t \le \frac{s^2}{4}$, $t \le 4$, $t \ge \frac{s^2 - 2s - 23}{2}$

となる。

これらの不等式を満たす領域を図示する。

(2)

$x^2 + y^2 + (\alpha + 2)xy = (x+y)^2 - 2xy + (\alpha + 2)xy = (x+y)^2 + \alpha xy = s^2 + \alpha t$

この最大値を求める。領域は $t \le \frac{s^2}{4}$, $t \le 4$, $t \ge \frac{s^2 - 2s - 23}{2}$ を満たす。

$s^2 + \alpha t$ の最大値は、領域の境界で達成される。

$t = 4$ のとき、$s^2 + 4\alpha$ であり、$4 \le \frac{s^2}{4}$, $4 \ge \frac{s^2 - 2s - 23}{2}$。

$16 \le s^2$, $8 \ge s^2 - 2s - 23$, つまり $s^2 \ge 16$ と $s^2 - 2s - 31 \le 0$。

$s^2 - 2s - 31 = 0$ の解は $s = 1 \pm \sqrt{32} = 1 \pm 4\sqrt{2}$ なので、$1-4\sqrt{2} \le s \le 1+4\sqrt{2}$。

$s^2 \ge 16$ より $s \ge 4$ または $s \le -4$。

$4 \le s \le 1+4\sqrt{2}$ または $1-4\sqrt{2} \le s \le -4$。

$s = 4$ のとき、$16 + 4\alpha$。$s = 1 + 4\sqrt{2}$ のとき、$(1+4\sqrt{2})^2 + 4\alpha = 1 + 8\sqrt{2} + 32 + 4\alpha = 33 + 8\sqrt{2} + 4\alpha$。

$t = \frac{s^2}{4}$ のとき、$s^2 + \alpha \frac{s^2}{4} = s^2(1 + \frac{\alpha}{4})$。

$t = \frac{s^2 - 2s - 23}{2}$ のとき、$s^2 + \alpha (\frac{s^2 - 2s - 23}{2}) = s^2 (1 + \frac{\alpha}{2}) - \alpha s - \frac{23}{2} \alpha$。

$t=4$となるのは、$\frac{s^2 - 2s - 23}{2} \le 4$ つまり、$s^2 - 2s - 31 \le 0$のときで、$s^2/4 > 4$を満たすときだから、$|s| > 4$かつ、$1-4\sqrt{2} \le s \le 1+4\sqrt{2}$. よって、$4 \le s \le 1+4\sqrt{2}$.

$1+4\sqrt{2} \approx 1+4 \times 1.4 = 6.6$. $s=4$のとき $s^2+ \alpha t = 16 + 4\alpha$

$s=1+4\sqrt{2}$のとき $s^2+ \alpha t = s^2 + 4\alpha = 33 + 8\sqrt{2} + 4\alpha$.

3. 最終的な答え

(1) $st$平面上に、$t \le \frac{s^2}{4}$, $t \le 4$, $t \ge \frac{s^2 - 2s - 23}{2}$ を満たす領域を図示する。（グラフ省略）

(2) $\max(16 + 4\alpha, 33+8\sqrt{2}+4\alpha)$