5つの小問からなる数学の問題です。 (1) $(x-2)^2 - (x+2)^2$ を因数分解する。 (2) $\frac{4}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} + (1+\sqrt{3})^2$ を計算し、簡単にする。 (3) 連立不等式 $\begin{cases} 2x-1 \le 3x-2 \\ 3x-2 < -2x+18 \end{cases}$ を解く。 (4) 全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ の部分集合 $A = \{1, 2, 4, 5, 6, 8\}$ と $B = \{2, 3, 5, 7\}$ について、集合 $A \cap B$ を求める。 (5) 放物線 $y = x^2 - 2x - 2$ を $x$ 軸方向に $-2$, $y$ 軸方向に $3$ だけ平行移動して得られる放物線の方程式を求める。

代数学因数分解平方根の計算連立不等式集合二次関数平行移動
2025/8/9

1. 問題の内容

5つの小問からなる数学の問題です。
(1) (x2)2(x+2)2(x-2)^2 - (x+2)^2 を因数分解する。
(2) 45+3+(1+3)2\frac{4}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} + (1+\sqrt{3})^2 を計算し、簡単にする。
(3) 連立不等式 {2x13x23x2<2x+18\begin{cases} 2x-1 \le 3x-2 \\ 3x-2 < -2x+18 \end{cases} を解く。
(4) 全体集合 U={1,2,3,4,5,6,7,8,9}U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} の部分集合 A={1,2,4,5,6,8}A = \{1, 2, 4, 5, 6, 8\}B={2,3,5,7}B = \{2, 3, 5, 7\} について、集合 ABA \cap B を求める。
(5) 放物線 y=x22x2y = x^2 - 2x - 2xx 軸方向に 2-2, yy 軸方向に 33 だけ平行移動して得られる放物線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1) 因数分解:
(x2)2(x+2)2=(x2+x+2)(x2(x+2))=(2x)(4)=8x(x-2)^2 - (x+2)^2 = (x-2 + x+2)(x-2 - (x+2)) = (2x)(-4) = -8x
(2) 計算:
まず、45+3\frac{4}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} を有理化します。
45+3=4(53)(5+3)(53)=4(53)53=4(53)2=2(53)\frac{4}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} = \frac{4(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})} = \frac{4(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{5-3} = \frac{4(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{2} = 2(\sqrt{5}-\sqrt{3})
次に、(1+3)2(1+\sqrt{3})^2 を計算します。
(1+3)2=1+23+3=4+23(1+\sqrt{3})^2 = 1 + 2\sqrt{3} + 3 = 4 + 2\sqrt{3}
したがって、
45+3+(1+3)2=2(53)+4+23=2523+4+23=25+4\frac{4}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} + (1+\sqrt{3})^2 = 2(\sqrt{5}-\sqrt{3}) + 4 + 2\sqrt{3} = 2\sqrt{5} - 2\sqrt{3} + 4 + 2\sqrt{3} = 2\sqrt{5} + 4
(3) 連立不等式:
まず、1つ目の不等式を解きます。
2x13x22x-1 \le 3x-2
1x1 \le x
x1x \ge 1
次に、2つ目の不等式を解きます。
3x2<2x+183x-2 < -2x+18
5x<205x < 20
x<4x < 4
したがって、連立不等式の解は 1x<41 \le x < 4
(4) 集合:
A={1,2,4,5,6,8}A = \{1, 2, 4, 5, 6, 8\}
B={2,3,5,7}B = \{2, 3, 5, 7\}
ABA \cap BAABB の共通部分なので、
AB={2,5}A \cap B = \{2, 5\}
(5) 平行移動:
y=x22x2y = x^2 - 2x - 2xx 軸方向に 2-2, yy 軸方向に 33 だけ平行移動すると、
y3=(x+2)22(x+2)2y - 3 = (x + 2)^2 - 2(x + 2) - 2
y=(x2+4x+4)2x42+3y = (x^2 + 4x + 4) - 2x - 4 - 2 + 3
y=x2+2x+1y = x^2 + 2x + 1

3. 最終的な答え

(1) 8x-8x
(2) 4+254 + 2\sqrt{5}
(3) 1x<41 \le x < 4
(4) {2,5}\{2, 5\}
(5) y=x2+2x+1y = x^2 + 2x + 1

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