$a$ を定数とする。3次方程式 $x^3 - 3x^2 + ax - 5 = 0$ が $x=1$ を解に持つ。 (1) $a$ の値を求める。 (2) (*) の $x=1$ 以外の2つの解を求める。ただし、$i$ は虚数単位である。 (3) $b, c$ を実数の定数とする。2次方程式 $x^2 - 4x^2 + bx + c = 0$ が (2) で求めた2つの解をいずれも解にもつような $b, c$ の値を求める。

1. 問題の内容

$a$ を定数とする。3次方程式 $x^3 - 3x^2 + ax - 5 = 0$ が $x=1$ を解に持つ。

(1) $a$ の値を求める。

(2) (*) の $x=1$ 以外の2つの解を求める。ただし、$i$ は虚数単位である。

(3) $b, c$ を実数の定数とする。2次方程式 $x^2 - 4x^2 + bx + c = 0$ が (2) で求めた2つの解をいずれも解にもつような $b, c$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $x=1$ を $x^3 - 3x^2 + ax - 5 = 0$ に代入すると、

$1^3 - 3(1^2) + a(1) - 5 = 0$

$1 - 3 + a - 5 = 0$

$a - 7 = 0$

$a = 7$

(2) $a = 7$ を $x^3 - 3x^2 + ax - 5 = 0$ に代入すると、

$x^3 - 3x^2 + 7x - 5 = 0$

$x=1$ を解に持つので、$x-1$ を因数に持つ。

$x^3 - 3x^2 + 7x - 5 = (x-1)(x^2 + px + 5)$ とおくと、

$x^3 - 3x^2 + 7x - 5 = x^3 + px^2 + 5x - x^2 - px - 5$

$x^3 - 3x^2 + 7x - 5 = x^3 + (p-1)x^2 + (5-p)x - 5$

係数を比較して、$p-1 = -3$ より $p = -2$ 。$5-p = 7$ より $p=-2$ 。

$x^3 - 3x^2 + 7x - 5 = (x-1)(x^2 - 2x + 5) = 0$

$x=1$ 以外の解は、$x^2 - 2x + 5 = 0$ の解である。

解の公式より

$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(5)}}{2(1)}$

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 20}}{2}$

$x = \frac{2 \pm \sqrt{-16}}{2}$

$x = \frac{2 \pm 4i}{2}$

$x = 1 \pm 2i$

(3) $x^2 - 4x^2 + bx + c = 0$ は $x^2 - 4x^2$ が $-3x^2$ であると考えられるので、$x^2 - 3x^2 + bx + c = 0$ ではなく、$x^2-4x+bx+c = 0$ (2次方程式)の間違いであると判断する。

(2) で求めた解 $1+2i, 1-2i$ を解に持つ2次方程式は

$(x - (1+2i))(x - (1-2i)) = 0$

$(x-1-2i)(x-1+2i) = 0$

$((x-1) - 2i)((x-1) + 2i) = 0$

$(x-1)^2 - (2i)^2 = 0$

$(x-1)^2 - (-4) = 0$

$x^2 - 2x + 1 + 4 = 0$

$x^2 - 2x + 5 = 0$

よって、$x^2 - 4x + bx + c = x^2 - 2x + 5$ より

$-4 + b = -2$ より $b = 2$

$c = 5$

2次方程式ではなく3次方程式 $x^3 - 4x^2 + bx + c = 0$ であった場合、 (2) で求めた解が2つともこの3次方程式の解であることから、この3次方程式は $(x - \alpha)(x - (1+2i))(x-(1-2i)) = 0$ の形で書ける。ただし、$\alpha$ は実数である。

$(x - \alpha)(x^2 - 2x + 5) = 0$

$x^3 - 2x^2 + 5x - \alpha x^2 + 2\alpha x - 5\alpha = 0$

$x^3 - (2+\alpha) x^2 + (5 + 2\alpha) x - 5\alpha = 0$

これが $x^3 - 4x^2 + bx + c = 0$ と等しいので、

$2+\alpha = 4$ より $\alpha = 2$

$b = 5 + 2\alpha = 5 + 2(2) = 9$

$c = -5\alpha = -5(2) = -10$

3. 最終的な答え

(1) $a = 7$

(2) $x = 1 \pm 2i$

(3) $b=2, c=5$ (2次方程式の場合), $b=9, c=-10$ (3次方程式の場合)

問題文の2次方程式が3次方程式の間違いである可能性も考慮して回答します。