$x$ についての不等式 $x^2 - (a+1)x + a > 0$ を解け。ただし、$a$ は定数とする。

1. 問題の内容

$x$ についての不等式 $x^2 - (a+1)x + a > 0$ を解け。ただし、$a$ は定数とする。

2. 解き方の手順

まず、不等式の左辺を因数分解します。

$x^2 - (a+1)x + a = (x - a)(x - 1)$

したがって、与えられた不等式は

$(x - a)(x - 1) > 0$

これを解くには、$a$ と $1$ の大小関係で場合分けします。

(i) $a < 1$ のとき、不等式を満たすのは、$x < a$ または $x > 1$ のときです。

(ii) $a = 1$ のとき、不等式は $(x - 1)^2 > 0$ となります。

これは、$x \neq 1$ を満たすすべての $x$ について成り立ちます。

(iii) $a > 1$ のとき、不等式を満たすのは、$x < 1$ または $x > a$ のときです。

3. 最終的な答え

(i) $a < 1$ のとき: $x < a$ または $x > 1$

(ii) $a = 1$ のとき: $x \neq 1$

(iii) $a > 1$ のとき: $x < 1$ または $x > a$