## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

以下の2つの問題を解きます。

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6. 次の式を因数分解しなさい。

(1) $\frac{x^2}{3} - \frac{y^2}{12}$

(2) $\frac{1}{2}a^2 + 2ab - 6b^2$

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7. 次の式を因数分解しなさい。

(1) $(x-2)(x-8) + 2x$

(2) $2(x+y)^2 - (x+2y)(x-5y)$

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2. 解き方の手順

### 16.(1)

まず、分数の係数を整数にします。

$\frac{x^2}{3} - \frac{y^2}{12} = \frac{4x^2}{12} - \frac{y^2}{12} = \frac{4x^2 - y^2}{12}$

分子を因数分解します。$4x^2 - y^2$ は $(2x)^2 - y^2$ なので、二乗の差の公式 $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ を適用します。

$4x^2 - y^2 = (2x+y)(2x-y)$

したがって、

$\frac{x^2}{3} - \frac{y^2}{12} = \frac{(2x+y)(2x-y)}{12}$

### 16.(2)

$\frac{1}{2}a^2 + 2ab - 6b^2$

係数に分数があるので、式全体を2倍して、整数にします。因数分解後で2で割ることを考えます。

$a^2 + 4ab - 12b^2$

$(a + 6b)(a - 2b)$

よって答えは、$\frac{1}{2}(a + 6b)(a - 2b)$

### 17.(1)

$(x-2)(x-8) + 2x$ を展開します。

$(x-2)(x-8) = x^2 - 8x - 2x + 16 = x^2 - 10x + 16$

元の式に $2x$ を加えます。

$x^2 - 10x + 16 + 2x = x^2 - 8x + 16$

これは $(x-4)^2$ と因数分解できます。

### 17.(2)

$2(x+y)^2 - (x+2y)(x-5y)$ を展開します。

$2(x+y)^2 = 2(x^2 + 2xy + y^2) = 2x^2 + 4xy + 2y^2$

$(x+2y)(x-5y) = x^2 - 5xy + 2xy - 10y^2 = x^2 - 3xy - 10y^2$

元の式に代入します。

$2x^2 + 4xy + 2y^2 - (x^2 - 3xy - 10y^2) = 2x^2 + 4xy + 2y^2 - x^2 + 3xy + 10y^2 = x^2 + 7xy + 12y^2$

これを因数分解します。

$x^2 + 7xy + 12y^2 = (x+3y)(x+4y)$

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3. 最終的な答え

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6. (1) $\frac{(2x+y)(2x-y)}{12}$

(2) $\frac{1}{2}(a + 6b)(a - 2b)$

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7. (1) $(x-4)^2$

(2) $(x+3y)(x+4y)$