$x > 0, y > 0$ のとき、関数 $f(x, y) = \frac{2x^2 + 2xy + y^2}{x^2 + xy}$ の取りうる値の範囲を求めよ。

## 標準問題①

1. 問題の内容

$x > 0, y > 0$ のとき、関数 $f(x, y) = \frac{2x^2 + 2xy + y^2}{x^2 + xy}$ の取りうる値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$t = \frac{y}{x}$ とおくと、$x > 0, y > 0$ より $t > 0$ である。

このとき、

$$f(x, y) = \frac{2x^2 + 2xy + y^2}{x^2 + xy} = \frac{2 + 2\frac{y}{x} + (\frac{y}{x})^2}{1 + \frac{y}{x}} = \frac{2 + 2t + t^2}{1 + t}$$

となる。

したがって、$g(t) = \frac{t^2 + 2t + 2}{t + 1}$ ($t > 0$) の値域を求めれば良い。

$g(t) = \frac{(t+1)^2 + 1}{t+1} = (t+1) + \frac{1}{t+1}$ と変形できる。

相加相乗平均の関係より、$t > 0$ のとき、$t+1 > 1$ であるから、

$$(t+1) + \frac{1}{t+1} \geq 2\sqrt{(t+1) \cdot \frac{1}{t+1}} = 2$$

ただし、等号成立は $t+1 = \frac{1}{t+1}$、すなわち $(t+1)^2 = 1$ のときである。

$t > 0$ より、$t+1 = 1$ となり、$t = 0$ であるが、$t > 0$ なのでこれは不適。

そこで、$g(t)$ の最小値を調べるために微分する。

$$g'(t) = 1 - \frac{1}{(t+1)^2} = \frac{(t+1)^2 - 1}{(t+1)^2} = \frac{t^2 + 2t}{(t+1)^2} = \frac{t(t+2)}{(t+1)^2}$$

$t > 0$ より、$g'(t) > 0$ なので、$g(t)$ は単調増加である。

$t \to 0$ のとき、$g(t) = \frac{2}{1} = 2$ に近づく。

また、$t \to \infty$ のとき、$g(t) \to \infty$ となる。

したがって、$g(t) > 2$ となる。

3. 最終的な答え

$f(x, y) > 2$