実数 $k$ を用いて表される直線 $L: y = kx + 1 - k - k^2$ について、以下の問いに答える。 (1) 直線 $L$ が点 $(2, 1)$ を通るような $k$ の値を求める。 (2) $k$ が実数全体を動くとき、直線 $L$ が通過する範囲を求め、図示する。

1. 問題の内容

実数 $k$ を用いて表される直線 $L: y = kx + 1 - k - k^2$ について、以下の問いに答える。

(1) 直線 $L$ が点 $(2, 1)$ を通るような $k$ の値を求める。

(2) $k$ が実数全体を動くとき、直線 $L$ が通過する範囲を求め、図示する。

2. 解き方の手順

(1) 直線 $L$ が点 $(2, 1)$ を通るので、$x = 2$, $y = 1$ を直線 $L$ の方程式に代入する。

$$1 = 2k + 1 - k - k^2$$

これを $k$ について解く。

(2) 直線 $L$ の方程式を $k$ について整理する。

$$y = kx + 1 - k - k^2$$

$$k^2 + (1 - x)k + (y - 1) = 0$$

$k$ が実数であるとき、この $k$ についての2次方程式が実数解を持つ条件を求める。すなわち、判別式 $D$ が $D \ge 0$ となる条件を求める。

$D = (1 - x)^2 - 4(y - 1) \ge 0$

この不等式を整理し、$y$ について解く。

また、図示する際は、$y$ の不等式を満たす領域を図示する。

3. 最終的な答え

(1)

$1 = 2k + 1 - k - k^2$

$k^2 - k = 0$

$k(k - 1) = 0$

$k = 0, 1$

(2)

$k^2 + (1 - x)k + (y - 1) = 0$

$D = (1 - x)^2 - 4(y - 1) \ge 0$

$(1 - x)^2 \ge 4(y - 1)$

$4(y - 1) \le (1 - x)^2$

$y - 1 \le \frac{1}{4}(1 - x)^2$

$y \le \frac{1}{4}(1 - x)^2 + 1$

$y \le \frac{1}{4}(x - 1)^2 + 1$

したがって、直線 $L$ が通過する範囲は $y \le \frac{1}{4}(x - 1)^2 + 1$ となる領域である。

これは、放物線 $y = \frac{1}{4}(x - 1)^2 + 1$ の下側の領域（境界線を含む）である。

図示は省略。