数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とするとき、以下の条件が与えられています。 (i) $S_1 = 1$ (ii) $S_{n+1} - 3S_n = n+1$ ($n \ge 1$) このとき、(i) $S_n$ を求め、(ii) $a_n$ を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とするとき、以下の条件が与えられています。

(i) $S_1 = 1$

(ii) $S_{n+1} - 3S_n = n+1$ ($n \ge 1$)

このとき、(i) $S_n$ を求め、(ii) $a_n$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

(i) $S_n$ を求める。

まず、$S_{n+1} - 3S_n = n+1$ の両辺を $3^{n+1}$ で割ると、

$\frac{S_{n+1}}{3^{n+1}} - \frac{S_n}{3^n} = \frac{n+1}{3^{n+1}}$

ここで、$T_n = \frac{S_n}{3^n}$ とおくと、

$T_{n+1} - T_n = \frac{n+1}{3^{n+1}}$

$n \ge 1$ のとき、

$T_n = T_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (T_{k+1} - T_k)$

$= T_1 + \sum_{k=1}^{n-1} \frac{k+1}{3^{k+1}}$

$S_1 = 1$ より、$T_1 = \frac{S_1}{3^1} = \frac{1}{3}$.

$\sum_{k=1}^{n-1} \frac{k+1}{3^{k+1}} = \sum_{k=1}^{n-1} \frac{k}{3^{k+1}} + \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{3^{k+1}}$

ここで、$A = \sum_{k=1}^{n-1} \frac{k}{3^{k+1}}$ とすると、

$3A = \sum_{k=1}^{n-1} \frac{k}{3^k}$

$3A - A = 2A = \frac{1}{3^1} + \frac{1}{3^2} + ... + \frac{1}{3^{n-1}} - \frac{n-1}{3^n}$

$= \frac{\frac{1}{3}(1 - \frac{1}{3^{n-1}})}{1-\frac{1}{3}} - \frac{n-1}{3^n}$

$= \frac{1}{2}(1 - \frac{1}{3^{n-1}}) - \frac{n-1}{3^n}$

$2A = \frac{1}{2} - \frac{1}{2 \cdot 3^{n-1}} - \frac{n-1}{3^n} = \frac{1}{2} - \frac{3}{2 \cdot 3^n} - \frac{2(n-1)}{2 \cdot 3^n} = \frac{1}{2} - \frac{2n-1}{2 \cdot 3^n}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{2n-1}{4 \cdot 3^n}$

また、$\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{3^{k+1}} = \frac{\frac{1}{9}(1-\frac{1}{3^{n-1}})}{1-\frac{1}{3}} = \frac{1}{6}(1 - \frac{1}{3^{n-1}}) = \frac{1}{6} - \frac{1}{6 \cdot 3^{n-1}} = \frac{1}{6} - \frac{3}{6 \cdot 3^n} = \frac{1}{6} - \frac{1}{2 \cdot 3^n}$

従って、

$\sum_{k=1}^{n-1} \frac{k+1}{3^{k+1}} = \frac{1}{4} - \frac{2n-1}{4 \cdot 3^n} + \frac{1}{6} - \frac{1}{2 \cdot 3^n} = \frac{5}{12} - \frac{2n+1}{4 \cdot 3^n}$

$T_n = \frac{1}{3} + \frac{5}{12} - \frac{2n+1}{4 \cdot 3^n} = \frac{9}{12} - \frac{2n+1}{4 \cdot 3^n} = \frac{3}{4} - \frac{2n+1}{4 \cdot 3^n} = \frac{3^{n+1} - 2n - 1}{4 \cdot 3^n}$

$S_n = 3^n T_n = \frac{3^{n+1} - 2n - 1}{4}$

(ii) $a_n$ を求める。

$n \ge 2$ のとき、$a_n = S_n - S_{n-1}$

$a_n = \frac{3^{n+1} - 2n - 1}{4} - \frac{3^n - 2(n-1) - 1}{4} = \frac{3^{n+1} - 3^n - 2n + 2n - 2}{4}$

$= \frac{3^n(3-1) - 2}{4} = \frac{2 \cdot 3^n - 2}{4} = \frac{3^n - 1}{2}$

$a_1 = S_1 = 1$.

$n = 1$ のとき、$\frac{3^1 - 1}{2} = \frac{2}{2} = 1$ となるので、 $a_n = \frac{3^n - 1}{2}$ は $n \ge 1$ で成り立つ。

3. 最終的な答え

(i) $S_n = \frac{3^{n+1} - 2n - 1}{4}$

(ii) $a_n = \frac{3^n - 1}{2}$