与えられた二項式の展開式において、指定された項の係数を求める問題です。具体的には、以下の3つの問題を解きます。 (1) $(x+y)^{10}$ の展開式における $x^4y^6$ の係数を求める。 (2) $(2x-y)^6$ の展開式における $x^2y^4$ の係数を求める。 (3) $(2x^2 - \frac{1}{x})^6$ の展開式における定数項を求める。

1. 問題の内容

与えられた二項式の展開式において、指定された項の係数を求める問題です。具体的には、以下の3つの問題を解きます。

(1) $(x+y)^{10}$ の展開式における $x^4y^6$ の係数を求める。

(2) $(2x-y)^6$ の展開式における $x^2y^4$ の係数を求める。

(3) $(2x^2 - \frac{1}{x})^6$ の展開式における定数項を求める。

2. 解き方の手順

(1) $(x+y)^{10}$ の展開式における一般項は、二項定理より

$$_{10}C_r x^{10-r}y^r$$

$x^4y^6$ の係数を求めるので、$10-r=4$ かつ $r=6$ である。したがって、係数は

$$_{10}C_6 = \frac{10!}{6!4!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 10 \cdot 3 \cdot 7 = 210$$

(2) $(2x-y)^6$ の展開式における一般項は、二項定理より

$$_6C_r (2x)^{6-r} (-y)^r = _6C_r 2^{6-r} (-1)^r x^{6-r} y^r$$

$x^2y^4$ の係数を求めるので、$6-r=2$ かつ $r=4$ である。したがって、係数は

$$_6C_4 2^{6-4} (-1)^4 = _6C_4 \cdot 2^2 \cdot 1 = \frac{6!}{4!2!} \cdot 4 = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} \cdot 4 = 15 \cdot 4 = 60$$

(3) $(2x^2 - \frac{1}{x})^6$ の展開式における一般項は、二項定理より

$$_6C_r (2x^2)^{6-r} (-\frac{1}{x})^r = _6C_r 2^{6-r} x^{2(6-r)} (-1)^r x^{-r} = _6C_r 2^{6-r} (-1)^r x^{12-2r-r} = _6C_r 2^{6-r} (-1)^r x^{12-3r}$$

定数項を求めるので、$12-3r=0$ より $r=4$ である。したがって、定数項は

$$_6C_4 2^{6-4} (-1)^4 = _6C_4 \cdot 2^2 \cdot 1 = \frac{6!}{4!2!} \cdot 4 = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} \cdot 4 = 15 \cdot 4 = 60$$

3. 最終的な答え

(1) 210

(2) 60

(3) 60