与えられた式 $(x+a)^2 + 8(x+a)(y+a) + 16(y+a)^2$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x+a)^2 + 8(x+a)(y+a) + 16(y+a)^2$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

この式は、$(x+a)$ と $(y+a)$ をそれぞれ一つの変数として見て、平方の形に因数分解できることに注目します。

具体的には、以下のように変形します。

$(x+a)^2 + 8(x+a)(y+a) + 16(y+a)^2 = (x+a)^2 + 2(x+a) \cdot 4(y+a) + (4(y+a))^2$

この式は $(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$ の形に似ているので、$A = (x+a)$、$B = 4(y+a)$ と考えると、

$(x+a)^2 + 2(x+a) \cdot 4(y+a) + (4(y+a))^2 = [(x+a) + 4(y+a)]^2$

さらに、括弧の中を整理すると、

$[(x+a) + 4(y+a)]^2 = (x+a+4y+4a)^2 = (x+4y+5a)^2$

3. 最終的な答え

$(x+4y+5a)^2$