関数 $y = ax$ (1) と $y = \frac{b}{x}$ (2) のグラフが与えられており、これらの交点をそれぞれAとBとする。点Aの座標が(-4, 9)である。このとき、aとbの値を求め、点Bの座標を求め、さらに点C(0, 12)が与えられたとき、三角形ABCの面積を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = ax$ (1) と $y = \frac{b}{x}$ (2) のグラフが与えられており、これらの交点をそれぞれAとBとする。点Aの座標が(-4, 9)である。このとき、aとbの値を求め、点Bの座標を求め、さらに点C(0, 12)が与えられたとき、三角形ABCの面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) a, bの値を求める。

点A(-4, 9)は関数 $y = ax$ 上にあるので、

$9 = a \times (-4)$

$a = -\frac{9}{4}$

また、点A(-4, 9)は関数 $y = \frac{b}{x}$ 上にもあるので、

$9 = \frac{b}{-4}$

$b = -36$

(2) Bの座標を求める。

点Bは関数 $y = ax$ と $y = \frac{b}{x}$ の交点なので、$y = -\frac{9}{4}x$ と $y = -\frac{36}{x}$ を連立して解く。

$-\frac{9}{4}x = -\frac{36}{x}$

$x^2 = \frac{36 \times 4}{9} = 16$

$x = \pm 4$

点Aのx座標は-4なので、点Bのx座標は4である。

$y = -\frac{9}{4} \times 4 = -9$

よって、点Bの座標は(4, -9)である。

(3) 三角形ABCの面積を求める。

点A(-4, 9), B(4, -9), C(0, 12)である。

三角形ABCの面積を求めるために、点Cを基準としてABを底辺とみなす方法で計算する。

ABの中点をMとすると、$M(\frac{-4+4}{2}, \frac{9-9}{2}) = M(0,0)$である。

したがって、CMの長さは$12-0 = 12$となる。

ABの長さは、$\sqrt{(4-(-4))^2 + (-9-9)^2} = \sqrt{8^2+(-18)^2} = \sqrt{64+324} = \sqrt{388}$となる。

この求め方は複雑になるので、別の方法を検討する。

三角形ABCの面積は、座標を利用して次のように求められる。

$\frac{1}{2} | (x_A - x_C)(y_B - y_A) - (x_A - x_B)(y_C - y_A) |$

$\frac{1}{2} | (-4 - 0)(-9 - 9) - (-4 - 4)(12 - 9) |$

$\frac{1}{2} | (-4)(-18) - (-8)(3) |$

$\frac{1}{2} | 72 + 24 |$

$\frac{1}{2} | 96 | = 48$

3. 最終的な答え

(1) $a = -\frac{9}{4}$, $b = -36$

(2) B(4, -9)

(3) 48