与えられた2つの式から $r^3$ の値を求め、さらに $r$ を求めます。 与えられた式は以下の通りです。 $a(1 + r^2 + r^3) = 80$ $a(r^4 + r^5 + r^6) = 640$ $r^3 = 8$

1. 問題の内容

与えられた2つの式から $r^3$ の値を求め、さらに $r$ を求めます。

与えられた式は以下の通りです。

$a(1 + r^2 + r^3) = 80$

$a(r^4 + r^5 + r^6) = 640$

$r^3 = 8$

2. 解き方の手順

まず、$r^3 = 8$ という式から $r$ の値を求めます。

$r^3 = 8$ の両辺の立方根を取ると、

$r = \sqrt[3]{8} = 2$

となります。

次に、与えられた2つの式を比較します。

$a(1 + r^2 + r^3) = 80$

$a(r^4 + r^5 + r^6) = 640$

2番目の式を $r^4$ でくくると、

$a r^4 (1 + r + r^2) = 640$

となります。

与えられた式は $a(1 + r^2 + r^3) = 80$ と $a(r^4 + r^5 + r^6) = 640$ そして $r^3 = 8$ です。

$r^3=8$より、$r=2$となります。

1番目の式に$r=2$を代入すると、$a(1+2^2+2^3)=80$, $a(1+4+8)=80$, $13a=80$, $a = \frac{80}{13}$.

2番目の式に$r=2$を代入すると、$a(2^4+2^5+2^6)=640$, $a(16+32+64)=640$, $112a=640$, $a = \frac{640}{112}=\frac{40}{7}$.

$a(r^4 + r^5 + r^6) = a r^4 (1 + r + r^2) = 640$ を変形すると, $a(r^4 + r^5 + r^6) = a r^4(1 + r + r^2) = ar^4(1 + r + r^2)$。

ところが、$r^3=8$は与えられている条件とは関係がないため、与えられた式の間違いの可能性があります。

また、$r=2$は $r^3=8$から求めた解です。

問題文に与えられている他の変数に関する情報は示されていません。

3. 最終的な答え

$r=2$