正の定数 $a$ が与えられたとき、関数 $y = x^2 - 2x - 2$ の区間 $0 \le x \le a$ における最大値を求める問題です。

1. 問題の内容

正の定数 $a$ が与えられたとき、関数 $y = x^2 - 2x - 2$ の区間 $0 \le x \le a$ における最大値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数の平方完成を行います。

$y = x^2 - 2x - 2 = (x - 1)^2 - 3$

この関数は下に凸の放物線であり、軸は $x = 1$ です。

次に、$a$ の値に応じて最大値がどこでとられるかを考えます。

(i) $0 < a < 1$ のとき：区間 $0 \le x \le a$ において、$x=0$ で最大値をとります。最大値は $y = 0^2 - 2(0) - 2 = -2$ です。

(ii) $a = 1$ のとき：区間 $0 \le x \le 1$ において、$x=0$ で最大値をとります。最大値は $y = 0^2 - 2(0) - 2 = -2$ です。

(iii) $1 < a$ のとき：区間 $0 \le x \le a$ において、$x=a$ で最大値をとります。最大値は $y = a^2 - 2a - 2$ です。

したがって、最大値を $M(a)$ とすると、

$M(a) = \begin{cases}

-2 & (0 < a \le 1) \\

a^2 - 2a - 2 & (1 < a)

\end{cases}$

3. 最終的な答え

$M(a) = \begin{cases}

-2 & (0 < a \le 1) \\

a^2 - 2a - 2 & (1 < a)

\end{cases}$