不等式 $|2x - 3| \le a$ を満たす整数 $x$ がちょうど6個存在するような $a$ の範囲を求める問題です。

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

不等式 $|2x - 3| \le a$ を満たす整数 $x$ がちょうど6個存在するような $a$ の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、絶対値の不等式を解きます。

$|2x - 3| \le a$ は $-a \le 2x - 3 \le a$ と同値です。

各辺に3を足すと、$3 - a \le 2x \le 3 + a$ となります。

各辺を2で割ると、$\frac{3 - a}{2} \le x \le \frac{3 + a}{2}$ となります。

$x$ は整数なので、この範囲に含まれる整数がちょうど6個になる条件を考えます。

整数が6個含まれるということは、$\frac{3 + a}{2} - \frac{3 - a}{2}$ が5より大きく、6以下である必要があります。

$\frac{3 + a}{2} - \frac{3 - a}{2} = \frac{2a}{2} = a$

整数 $x$ の個数は、 $\frac{3+a}{2}$ および $\frac{3-a}{2}$ の整数部分に依存します。

$\frac{3 - a}{2} \le x \le \frac{3 + a}{2}$ の範囲に整数が6個含まれるためには、以下の条件を満たす必要があります。

$\frac{3+a}{2} - \frac{3-a}{2} = a$ ですから、$5 < a \le 6$ となるのは、端の数が整数でない場合です。

整数解が6個ということは、

$\frac{3+a}{2}$ と $\frac{3-a}{2}$ の間に6個の整数があるということです。

つまり、

$\frac{3+a}{2} - \frac{3-a}{2} \ge 5$ かつ $\frac{3+a}{2} - \frac{3-a}{2} < 7$ である必要があります。

$\frac{3+a}{2} - \frac{3-a}{2} = \frac{2a}{2} = a$ なので、

$5 \le a < 7$

しかし、整数解がちょうど6個である必要があるので、より厳密に考える必要があります。

$a=5$のとき、$\frac{3-5}{2} \le x \le \frac{3+5}{2}$ より $-1 \le x \le 4$ なので、x=-1, 0, 1, 2, 3, 4の6個の整数解を持ちます。

$a=6$のとき、$\frac{3-6}{2} \le x \le \frac{3+6}{2}$ より $-1.5 \le x \le 4.5$ なので、x=-1, 0, 1, 2, 3, 4の6個の整数解を持ちます。

$a=7$のとき、$\frac{3-7}{2} \le x \le \frac{3+7}{2}$ より $-2 \le x \le 5$ なので、x=-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5の8個の整数解を持ちます。

したがって、 $5 \le a < 7$ に加え、 $\frac{3-a}{2}$と $\frac{3+a}{2}$ が整数になる場合を考える必要があります。

$a = 5$の場合，$x$の範囲は$-1 \le x \le 4$となるため、整数解は6個です。

$a = 6$の場合，$x$の範囲は$-1.5 \le x \le 4.5$となるため、整数解は6個です。

$5 \le a < 7$ と考えるのが妥当です。

3. 最終的な答え

$5 \le a < 7$