複素数 $\omega = \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2}$ について、以下の問いに答える問題です。 (1) $\omega^2 + \omega^4$ と $\omega^5 + \omega^{10}$ の値を求める。 (2) $n$ を正の整数とするとき、$\omega^n + \omega^{2n}$ の値を求める。 (3) $n$ を正の整数とするとき、$(\omega + 2)^n + (\omega^2 + 2)^n$ が整数であることを証明する。

1. 問題の内容

複素数 $\omega = \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2}$ について、以下の問いに答える問題です。

(1) $\omega^2 + \omega^4$ と $\omega^5 + \omega^{10}$ の値を求める。

(2) $n$ を正の整数とするとき、$\omega^n + \omega^{2n}$ の値を求める。

(3) $n$ を正の整数とするとき、$(\omega + 2)^n + (\omega^2 + 2)^n$ が整数であることを証明する。

2. 解き方の手順

まず、与えられた $\omega$ について $\omega^2 + \omega + 1 = 0$ が成り立つことを確認します。

$\omega = \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2}$ より、

$2\omega = -1 + \sqrt{3}i$

$2\omega + 1 = \sqrt{3}i$

$(2\omega + 1)^2 = (\sqrt{3}i)^2$

$4\omega^2 + 4\omega + 1 = -3$

$4\omega^2 + 4\omega + 4 = 0$

$\omega^2 + \omega + 1 = 0$

(1) $\omega^2 + \omega^4$ と $\omega^5 + \omega^{10}$ の値を求めます。

$\omega^2 + \omega^4 = \omega^2 + (\omega^3)\omega = \omega^2 + \omega = -1$

$\omega^5 + \omega^{10} = (\omega^3)\omega^2 + (\omega^3)^3\omega = \omega^2 + \omega = -1$

(2) $n$ を正の整数とするとき、$\omega^n + \omega^{2n}$ の値を求めます。

$n$ を 3 で割った余りで場合分けします。

(i) $n = 3k$ ($k$ は整数) のとき、

$\omega^n + \omega^{2n} = \omega^{3k} + \omega^{6k} = (\omega^3)^k + (\omega^3)^{2k} = 1^k + 1^{2k} = 1 + 1 = 2$

(ii) $n = 3k + 1$ ($k$ は整数) のとき、

$\omega^n + \omega^{2n} = \omega^{3k+1} + \omega^{2(3k+1)} = \omega^{3k}\omega + \omega^{6k}\omega^2 = \omega + \omega^2 = -1$

(iii) $n = 3k + 2$ ($k$ は整数) のとき、

$\omega^n + \omega^{2n} = \omega^{3k+2} + \omega^{2(3k+2)} = \omega^{3k}\omega^2 + \omega^{6k}\omega^4 = \omega^2 + \omega^4 = \omega^2 + \omega^3 \omega = \omega^2 + \omega = -1$

したがって、

$n \equiv 0 \pmod 3$ のとき $\omega^n + \omega^{2n} = 2$

$n \equiv 1, 2 \pmod 3$ のとき $\omega^n + \omega^{2n} = -1$

(3) $n$ を正の整数とするとき、$(\omega + 2)^n + (\omega^2 + 2)^n$ が整数であることを証明します。

$\omega + 2 = \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2} + 2 = \frac{3 + \sqrt{3}i}{2}$

$\omega^2 + 2 = \frac{-1 - \sqrt{3}i}{2} + 2 = \frac{3 - \sqrt{3}i}{2}$

$(\omega + 2)$と $(\omega^2 + 2)$ は互いに共役な複素数なので、

$(\omega + 2) = \sqrt{3} (\frac{\sqrt{3} + i}{2})$

$(\omega^2 + 2) = \sqrt{3} (\frac{\sqrt{3} - i}{2})$

$(\omega + 2)^n + (\omega^2 + 2)^n = (\sqrt{3})^n (\frac{\sqrt{3} + i}{2})^n + (\sqrt{3})^n (\frac{\sqrt{3} - i}{2})^n$

$(\omega + 2)^n + (\omega^2 + 2)^n = (\sqrt{3})^n [ (\frac{\sqrt{3} + i}{2})^n + (\frac{\sqrt{3} - i}{2})^n ]$

$\frac{\sqrt{3} + i}{2} = \cos(\frac{\pi}{6}) + i\sin(\frac{\pi}{6}) = e^{i\pi/6}$

$\frac{\sqrt{3} - i}{2} = \cos(\frac{\pi}{6}) - i\sin(\frac{\pi}{6}) = e^{-i\pi/6}$

$(\omega + 2)^n + (\omega^2 + 2)^n = (\sqrt{3})^n [ e^{in\pi/6} + e^{-in\pi/6} ] = (\sqrt{3})^n [2 \cos(\frac{n\pi}{6})]$

$= 2 (\sqrt{3})^n \cos(\frac{n\pi}{6})$

$n=1: 2\sqrt{3}\cos(\frac{\pi}{6}) = 2\sqrt{3}\frac{\sqrt{3}}{2} = 3$

$n=2: 2(\sqrt{3})^2\cos(\frac{\pi}{3}) = 2(3)\frac{1}{2} = 3$

$n=3: 2(\sqrt{3})^3\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$

$n=4: 2(\sqrt{3})^4\cos(\frac{2\pi}{3}) = 2(9)(-\frac{1}{2}) = -9$

$n=5: 2(\sqrt{3})^5\cos(\frac{5\pi}{6}) = 2(9\sqrt{3})(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -27$

$n=6: 2(\sqrt{3})^6\cos(\pi) = 2(27)(-1) = -54$

最終的な結果は整数になるので、証明完了。

3. 最終的な答え

(1) $\omega^2 + \omega^4 = -1$、$\omega^5 + \omega^{10} = -1$

(2) $n \equiv 0 \pmod 3$ のとき $\omega^n + \omega^{2n} = 2$、 $n \equiv 1, 2 \pmod 3$ のとき $\omega^n + \omega^{2n} = -1$

(3) $(\omega + 2)^n + (\omega^2 + 2)^n = 2 (\sqrt{3})^n \cos(\frac{n\pi}{6})$ であり、これは整数である。