与えられた漸化式 $S_{n+1} - 3S_n = n+1$ と初期条件 $S_1 = 1$ から数列 $\{S_n\}$ の一般項を求めます。

1. 問題の内容

与えられた漸化式 $S_{n+1} - 3S_n = n+1$ と初期条件 $S_1 = 1$ から数列 $\{S_n\}$ の一般項を求めます。

2. 解き方の手順

まず、漸化式 $S_{n+1} - 3S_n = n+1$ を変形します。両辺を $3^{n+1}$ で割ると、

$\frac{S_{n+1}}{3^{n+1}} - \frac{S_n}{3^n} = \frac{n+1}{3^{n+1}}$

ここで、$T_n = \frac{S_n}{3^n}$ とおくと、

$T_{n+1} - T_n = \frac{n+1}{3^{n+1}}$

$n \ge 1$ に対して、この式を $n = 1$ から $n = k-1$ まで足し合わせると、

$\sum_{n=1}^{k-1} (T_{n+1} - T_n) = \sum_{n=1}^{k-1} \frac{n+1}{3^{n+1}}$

左辺は telescoping sum となり、$T_k - T_1$ となります。よって、

$T_k - T_1 = \sum_{n=1}^{k-1} \frac{n+1}{3^{n+1}}$

$T_k = T_1 + \sum_{n=1}^{k-1} \frac{n+1}{3^{n+1}}$

$T_1 = \frac{S_1}{3^1} = \frac{1}{3}$ より、

$T_k = \frac{1}{3} + \sum_{n=1}^{k-1} \frac{n+1}{3^{n+1}}$

$S_k = 3^k T_k$ であるから、

$S_k = 3^k \left( \frac{1}{3} + \sum_{n=1}^{k-1} \frac{n+1}{3^{n+1}} \right)$

ここで、$S = \sum_{n=1}^{k-1} \frac{n+1}{3^{n+1}}$ を計算します。

$S = \frac{2}{3^2} + \frac{3}{3^3} + \frac{4}{3^4} + \cdots + \frac{k}{3^k}$

$\frac{1}{3}S = \frac{2}{3^3} + \frac{3}{3^4} + \frac{4}{3^5} + \cdots + \frac{k}{3^{k+1}}$

上の式から下の式を引くと、

$\frac{2}{3}S = \frac{2}{3^2} + \frac{1}{3^3} + \frac{1}{3^4} + \cdots + \frac{1}{3^k} - \frac{k}{3^{k+1}}$

$\frac{2}{3}S = \frac{2}{9} + \frac{\frac{1}{27}(1 - \frac{1}{3^{k-2}})}{1-\frac{1}{3}} - \frac{k}{3^{k+1}}$

$\frac{2}{3}S = \frac{2}{9} + \frac{\frac{1}{27}(1 - \frac{1}{3^{k-2}})}{\frac{2}{3}} - \frac{k}{3^{k+1}}$

$\frac{2}{3}S = \frac{2}{9} + \frac{1}{18}(1 - \frac{1}{3^{k-2}}) - \frac{k}{3^{k+1}}$

$S = \frac{3}{9} + \frac{1}{12}(1 - \frac{1}{3^{k-2}}) - \frac{k}{2 \cdot 3^{k}}$

$S = \frac{1}{3} + \frac{1}{12} - \frac{1}{12 \cdot 3^{k-2}} - \frac{k}{2 \cdot 3^k}$

$S = \frac{5}{12} - \frac{3^2}{12 \cdot 3^{k}} - \frac{k}{2 \cdot 3^k}$

$S = \frac{5}{12} - \frac{3 + 6k}{12 \cdot 3^k}$

$S_k = 3^k \left( \frac{1}{3} + \frac{5}{12} - \frac{3+6k}{12 \cdot 3^k} \right)$

$S_k = \frac{3^k}{3} + \frac{5}{12} 3^k - \frac{3+6k}{12}$

$S_k = \frac{4 \cdot 3^k + 5 \cdot 3^k}{12} - \frac{3+6k}{12}$

$S_k = \frac{9 \cdot 3^k - 3 - 6k}{12}$

$S_k = \frac{3 \cdot 3^k - 1 - 2k}{4}$

$S_k = \frac{3^{k+1} - 2k - 1}{4}$

3. 最終的な答え

$S_n = \frac{3^{n+1} - 2n - 1}{4}$