与えられた連立一次方程式 $ \begin{cases} 2x - y - z = 3 \\ -3x + 2y + z = -4 \\ x - z = 2 \end{cases} $ を掃き出し法を用いて解く。

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式

$ \begin{cases}

2x - y - z = 3 \\

-3x + 2y + z = -4 \\

x - z = 2

\end{cases} $

を掃き出し法を用いて解く。

2. 解き方の手順

まず、与えられた連立一次方程式を行列で表現します。

$$

\begin{pmatrix}

2 & -1 & -1 \\

-3 & 2 & 1 \\

1 & 0 & -1

\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}

x \\

y \\

z

\end{pmatrix}

=

\begin{pmatrix}

3 \\

-4 \\

2

\end{pmatrix}

$$

この連立一次方程式に対応する拡大係数行列は次のようになります。

$$

\begin{pmatrix}

2 & -1 & -1 & 3 \\

-3 & 2 & 1 & -4 \\

1 & 0 & -1 & 2

\end{pmatrix}

$$

掃き出し法を用いて、この拡大係数行列を簡約化します。

まず、1行目と3行目を入れ替えます。

$$

\begin{pmatrix}

1 & 0 & -1 & 2 \\

-3 & 2 & 1 & -4 \\

2 & -1 & -1 & 3

\end{pmatrix}

$$

2行目に1行目の3倍を加えます。

$$

\begin{pmatrix}

1 & 0 & -1 & 2 \\

0 & 2 & -2 & 2 \\

2 & -1 & -1 & 3

\end{pmatrix}

$$

3行目から1行目の2倍を引きます。

$$

\begin{pmatrix}

1 & 0 & -1 & 2 \\

0 & 2 & -2 & 2 \\

0 & -1 & 1 & -1

\end{pmatrix}

$$

2行目を2で割ります。

$$

\begin{pmatrix}

1 & 0 & -1 & 2 \\

0 & 1 & -1 & 1 \\

0 & -1 & 1 & -1

\end{pmatrix}

$$

3行目に2行目を加えます。

$$

\begin{pmatrix}

1 & 0 & -1 & 2 \\

0 & 1 & -1 & 1 \\

0 & 0 & 0 & 0

\end{pmatrix}

$$

簡約化された行列に対応する連立一次方程式は

$ \begin{cases}

x - z = 2 \\

y - z = 1

\end{cases} $

となります。

したがって、$x = z + 2$、$y = z + 1$となります。$z = t$とおくと、解は

$ \begin{cases}

x = t + 2 \\

y = t + 1 \\

z = t

\end{cases} $

となります。

3. 最終的な答え

$$

\begin{cases}

x = z + 2 \\

y = z + 1

\end{cases}

$$

または $z = t$ とおくと

$$

\begin{cases}

x = t + 2 \\

y = t + 1 \\

z = t

\end{cases}

$$

(tは任意の実数)