与えられた分数の分母を有理化する問題です。具体的には、以下の8つの式について分母を有理化します。 (1) $\frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{2}}$ (2) $\frac{1}{\sqrt{10} - 3}$ (3) $\frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{3}}$ (4) $\frac{1}{\sqrt{2} - \sqrt{5}}$ (5) $\frac{5}{\sqrt{6} - 1}$ (6) $\frac{2}{\sqrt{13} + 3}$ (7) $\frac{3}{\sqrt{7} - 4}$ (8) $\frac{7}{\sqrt{11} + 2}$

1. 問題の内容

与えられた分数の分母を有理化する問題です。具体的には、以下の8つの式について分母を有理化します。

(1) $\frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{2}}$

(2) $\frac{1}{\sqrt{10} - 3}$

(3) $\frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{3}}$

(4) $\frac{1}{\sqrt{2} - \sqrt{5}}$

(5) $\frac{5}{\sqrt{6} - 1}$

(6) $\frac{2}{\sqrt{13} + 3}$

(7) $\frac{3}{\sqrt{7} - 4}$

(8) $\frac{7}{\sqrt{11} + 2}$

2. 解き方の手順

分母を有理化するには、分母の共役な複素数を分母と分子に掛けます。

共役な複素数とは、$a + b$ に対して $a - b$、$a - b$ に対して $a + b$ となる数のことです。

具体的に計算手順を以下に示します。

(1) $\frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{5 - 2} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{3}$

(2) $\frac{1}{\sqrt{10} - 3} = \frac{1}{\sqrt{10} - 3} \cdot \frac{\sqrt{10} + 3}{\sqrt{10} + 3} = \frac{\sqrt{10} + 3}{10 - 9} = \sqrt{10} + 3$

(3) $\frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{3}}{\sqrt{6} - \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{3}}{6 - 3} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{3}}{3}$

(4) $\frac{1}{\sqrt{2} - \sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{2} - \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{2} + \sqrt{5}}{\sqrt{2} + \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{5}}{2 - 5} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{5}}{-3} = -\frac{\sqrt{2} + \sqrt{5}}{3}$

(5) $\frac{5}{\sqrt{6} - 1} = \frac{5}{\sqrt{6} - 1} \cdot \frac{\sqrt{6} + 1}{\sqrt{6} + 1} = \frac{5(\sqrt{6} + 1)}{6 - 1} = \frac{5(\sqrt{6} + 1)}{5} = \sqrt{6} + 1$

(6) $\frac{2}{\sqrt{13} + 3} = \frac{2}{\sqrt{13} + 3} \cdot \frac{\sqrt{13} - 3}{\sqrt{13} - 3} = \frac{2(\sqrt{13} - 3)}{13 - 9} = \frac{2(\sqrt{13} - 3)}{4} = \frac{\sqrt{13} - 3}{2}$

(7) $\frac{3}{\sqrt{7} - 4} = \frac{3}{\sqrt{7} - 4} \cdot \frac{\sqrt{7} + 4}{\sqrt{7} + 4} = \frac{3(\sqrt{7} + 4)}{7 - 16} = \frac{3(\sqrt{7} + 4)}{-9} = -\frac{\sqrt{7} + 4}{3}$

(8) $\frac{7}{\sqrt{11} + 2} = \frac{7}{\sqrt{11} + 2} \cdot \frac{\sqrt{11} - 2}{\sqrt{11} - 2} = \frac{7(\sqrt{11} - 2)}{11 - 4} = \frac{7(\sqrt{11} - 2)}{7} = \sqrt{11} - 2$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{3}$

(2) $\sqrt{10} + 3$

(3) $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{3}}{3}$

(4) $-\frac{\sqrt{2} + \sqrt{5}}{3}$

(5) $\sqrt{6} + 1$

(6) $\frac{\sqrt{13} - 3}{2}$

(7) $-\frac{\sqrt{7} + 4}{3}$

(8) $\sqrt{11} - 2$