$0 \le x \le a$ ($a > 0$) の範囲における2次関数 $y = x^2 - 4x$ の最大値と最小値を、以下の3つの場合に分けて求めよ。 (i) $0 < a \le 2$ (ii) $2 < a \le 4$ (iii) $a > 4$

1. 問題の内容

$0 \le x \le a$ ($a > 0$) の範囲における2次関数 $y = x^2 - 4x$ の最大値と最小値を、以下の3つの場合に分けて求めよ。

(i) $0 < a \le 2$

(ii) $2 < a \le 4$

(iii) $a > 4$

2. 解き方の手順

まず、$y = x^2 - 4x$ を平方完成する。

$y = (x - 2)^2 - 4$

この関数の頂点は $(2, -4)$ である。

場合分けをして、最大値と最小値を求める。

(i) $0 < a \le 2$ のとき

この範囲では、軸 $x = 2$ は範囲の右端に位置するか、範囲の右端を含む。

最小値は $x = a$ で $y = a^2 - 4a$ となる。

最大値は $x = 0$ で $y = 0$ となる。

(ii) $2 < a \le 4$ のとき

この範囲では、軸 $x = 2$ は範囲内に含まれる。

最小値は $x = 2$ で $y = -4$ となる。

最大値は、$x = 0$ と $x = a$ のどちらかでとる。$x = 0$ のとき $y = 0$、$x = a$ のとき $y = a^2 - 4a$ である。

$a^2 - 4a = 0$ を解くと $a = 0, 4$。

$2 < a < 4$ のとき、$a^2 - 4a < 0$ となり、最大値は $x = 0$ で $y = 0$ となる。

$a = 4$ のとき、$a^2 - 4a = 0$ となり、最大値は $x = 0$ および $x = 4$ で $y = 0$ となる。

(iii) $a > 4$ のとき

この範囲でも、軸 $x = 2$ は範囲内に含まれる。

最小値は $x = 2$ で $y = -4$ となる。

最大値は $x = a$ で $y = a^2 - 4a$ となる。

なぜなら、$x = 0$ のとき $y = 0$ であり、$a > 4$ のとき $a^2 - 4a > 0$ であるから。

3. 最終的な答え

(i) $0 < a \le 2$ のとき

最大値: $0$ ($x = 0$)

最小値: $a^2 - 4a$ ($x = a$)

(ii) $2 < a \le 4$ のとき

最大値: $0$ ($x = 0$)

最小値: $-4$ ($x = 2$)

(iii) $a > 4$ のとき

最大値: $a^2 - 4a$ ($x = a$)

最小値: $-4$ ($x = 2$)