(1) $x, y$ が4つの不等式 $x \geq 0$, $y \geq 0$, $x + 2y \leq 6$, $2x + y \leq 6$ を満たすとき、$x - y$ の最大値および最小値を求める。 (2) $x, y$ が連立不等式 $x + y \geq 1$, $2x + y \leq 6$, $x + 2y \leq 4$ を満たすとき、$2x + 3y$ の最大値および最小値を求める。

1. 問題の内容

(1) $x, y$ が4つの不等式 $x \geq 0$, $y \geq 0$, $x + 2y \leq 6$, $2x + y \leq 6$ を満たすとき、$x - y$ の最大値および最小値を求める。

(2) $x, y$ が連立不等式 $x + y \geq 1$, $2x + y \leq 6$, $x + 2y \leq 4$ を満たすとき、$2x + 3y$ の最大値および最小値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、与えられた不等式を満たす領域を図示します。

$x \geq 0$、$y \geq 0$ はそれぞれ $y$ 軸、 $x$ 軸より右側および上側の領域を表します。

$x + 2y \leq 6$ は直線 $x + 2y = 6$ の下側の領域を表します。

$2x + y \leq 6$ は直線 $2x + y = 6$ の下側の領域を表します。

これらの不等式を全て満たす領域は四角形になります。その頂点は $(0, 0)$, $(3, 0)$, $(2, 2)$, $(0, 3)$ です。

次に、$x - y = k$ とおき、$k$ の最大値と最小値を求めます。

$y = x - k$ となり、この直線が上記の領域と共有点を持つときの $k$ の最大値と最小値を考えます。

頂点の座標を $x - y$ に代入すると、

$(0, 0)$ では $x - y = 0$

$(3, 0)$ では $x - y = 3$

$(2, 2)$ では $x - y = 0$

$(0, 3)$ では $x - y = -3$

したがって、最大値は $3$、最小値は $-3$ となります。

(2)

まず、与えられた不等式を満たす領域を図示します。

$x + y \geq 1$ は直線 $x + y = 1$ の上側の領域を表します。

$2x + y \leq 6$ は直線 $2x + y = 6$ の下側の領域を表します。

$x + 2y \leq 4$ は直線 $x + 2y = 4$ の下側の領域を表します。

これらの不等式を全て満たす領域は三角形になります。その頂点は $(0, 1)$, $(3, 0)$, $(2, 1)$ です。

次に、$2x + 3y = k$ とおき、$k$ の最大値と最小値を求めます。

頂点の座標を $2x + 3y$ に代入すると、

$(0, 1)$ では $2x + 3y = 3$

$(3, 0)$ では $2x + 3y = 6$

$(2, 1)$ では $2x + 3y = 7$

したがって、最大値は $7$、最小値は $3$ となります。

3. 最終的な答え

(1) 最大値: $3$, 最小値: $-3$

(2) 最大値: $7$, 最小値: $3$