与えられた分数の分母を有理化する問題です。具体的には、以下の3つの分数の分母を有理化します。 (1) $\frac{2}{\sqrt{3}+1}$ (2) $\frac{4}{\sqrt{10}-\sqrt{2}}$ (3) $\frac{3}{2+\sqrt{7}}$

1. 問題の内容

与えられた分数の分母を有理化する問題です。具体的には、以下の3つの分数の分母を有理化します。

(1) $\frac{2}{\sqrt{3}+1}$

(2) $\frac{4}{\sqrt{10}-\sqrt{2}}$

(3) $\frac{3}{2+\sqrt{7}}$

2. 解き方の手順

分母の有理化は、分母に適切な数を掛けて、分母から根号を取り除く操作です。

(1) $\frac{2}{\sqrt{3}+1}$ の場合：

分母の $\sqrt{3} + 1$ の共役な複素数である $\sqrt{3} - 1$ を分子と分母に掛けます。

$\frac{2}{\sqrt{3}+1} = \frac{2(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}$

$= \frac{2(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3})^2 - 1^2}$

$= \frac{2(\sqrt{3}-1)}{3 - 1}$

$= \frac{2(\sqrt{3}-1)}{2}$

$= \sqrt{3} - 1$

(2) $\frac{4}{\sqrt{10}-\sqrt{2}}$ の場合：

分母の $\sqrt{10} - \sqrt{2}$ の共役な複素数である $\sqrt{10} + \sqrt{2}$ を分子と分母に掛けます。

$\frac{4}{\sqrt{10}-\sqrt{2}} = \frac{4(\sqrt{10}+\sqrt{2})}{(\sqrt{10}-\sqrt{2})(\sqrt{10}+\sqrt{2})}$

$= \frac{4(\sqrt{10}+\sqrt{2})}{(\sqrt{10})^2 - (\sqrt{2})^2}$

$= \frac{4(\sqrt{10}+\sqrt{2})}{10 - 2}$

$= \frac{4(\sqrt{10}+\sqrt{2})}{8}$

$= \frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}$

(3) $\frac{3}{2+\sqrt{7}}$ の場合：

分母の $2 + \sqrt{7}$ の共役な複素数である $2 - \sqrt{7}$ を分子と分母に掛けます。

$\frac{3}{2+\sqrt{7}} = \frac{3(2-\sqrt{7})}{(2+\sqrt{7})(2-\sqrt{7})}$

$= \frac{3(2-\sqrt{7})}{2^2 - (\sqrt{7})^2}$

$= \frac{3(2-\sqrt{7})}{4 - 7}$

$= \frac{3(2-\sqrt{7})}{-3}$

$= - (2 - \sqrt{7})$

$= -2 + \sqrt{7}$

$= \sqrt{7} - 2$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{3} - 1$

(2) $\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}$

(3) $\sqrt{7} - 2$