$n$ と $x$ を2以上の整数とする。各 $n$ に対して、不等式 $-1 \le \log_n x - 6 \log_x n \le 1$ (*) を満たす $x$ の個数 $S_n$ を考える。以下の問いに答えよ。 (1) $\log_2 k - 6 \log_k 2 = -1$ を満たす2以上の整数 $k$ を求めよ。 (2) $n=2$ のとき、(*) を満たし、かつ $\log_2 x$ が整数となる $x$ をすべて求めよ。 (3) $S_n$ を $n$ を用いて表せ。 (4) $10 \le S_n \le 100$ となる $n$ をすべて求めよ。

1. 問題の内容

$n$ と $x$ を2以上の整数とする。各 $n$ に対して、不等式

$-1 \le \log_n x - 6 \log_x n \le 1$ (*)

を満たす $x$ の個数 $S_n$ を考える。以下の問いに答えよ。

(1) $\log_2 k - 6 \log_k 2 = -1$ を満たす2以上の整数 $k$ を求めよ。

(2) $n=2$ のとき、(*) を満たし、かつ $\log_2 x$ が整数となる $x$ をすべて求めよ。

(3) $S_n$ を $n$ を用いて表せ。

(4) $10 \le S_n \le 100$ となる $n$ をすべて求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\log_2 k = t$ とおくと、$\log_k 2 = \frac{1}{t}$ となる。よって、

$t - \frac{6}{t} = -1$

$t^2 - 6 = -t$

$t^2 + t - 6 = 0$

$(t+3)(t-2) = 0$

$t = -3, 2$

$t = \log_2 k$ より、$k = 2^t$ である。$k$ は2以上の整数なので、

$k = 2^{-3} = \frac{1}{8}$ は不適。

$k = 2^2 = 4$

よって、$k=4$

(2) $n=2$ のとき、(*)は

$-1 \le \log_2 x - 6 \log_x 2 \le 1$

$\log_2 x = t$ とおくと、$\log_x 2 = \frac{1}{t}$ なので、

$-1 \le t - \frac{6}{t} \le 1$

$x \ge 2$ より $t = \log_2 x > 0$ であるから、各辺に $t$ を掛けて

$-t \le t^2 - 6 \le t$

$-t \le t^2 - 6$ より、$t^2 + t - 6 \ge 0$

$(t+3)(t-2) \ge 0$

$t > 0$ より、$t \ge 2$

$t^2 - 6 \le t$ より、$t^2 - t - 6 \le 0$

$(t-3)(t+2) \le 0$

$t > 0$ より、$t \le 3$

よって、$2 \le t \le 3$

$\log_2 x$ が整数となるのは、$t$ が整数のときなので、$t=2, 3$

$t=2$ のとき、$x = 2^2 = 4$

$t=3$ のとき、$x = 2^3 = 8$

よって、$x = 4, 8$

(3) $\log_n x = t$ とおくと、$\log_x n = \frac{1}{t}$

$-1 \le t - \frac{6}{t} \le 1$

$t>0$ より各辺に $t$ をかけて

$-t \le t^2 - 6 \le t$

$-t \le t^2 - 6$ より、$t^2 + t - 6 \ge 0$

$(t+3)(t-2) \ge 0$

$t > 0$ より、$t \ge 2$

$t^2 - 6 \le t$ より、$t^2 - t - 6 \le 0$

$(t-3)(t+2) \le 0$

$t > 0$ より、$t \le 3$

よって、$2 \le t \le 3$

$2 \le \log_n x \le 3$

$n^2 \le x \le n^3$

$n$ は2以上の整数なので、$n^2 \le n^3$ は常に成り立つ。

$x$ は整数なので、$S_n = n^3 - n^2 + 1$

(4) $10 \le S_n \le 100$

$10 \le n^3 - n^2 + 1 \le 100$

$10 \le n^3 - n^2 + 1$ より、$n^3 - n^2 - 9 \ge 0$

$f(n) = n^3 - n^2 - 9$ とすると、

$f(2) = 8 - 4 - 9 = -5 < 0$

$f(3) = 27 - 9 - 9 = 9 > 0$

よって、$n \ge 3$

$n^3 - n^2 + 1 \le 100$ より、$n^3 - n^2 - 99 \le 0$

$g(n) = n^3 - n^2 - 99$ とすると、

$g(4) = 64 - 16 - 99 = -51 < 0$

$g(5) = 125 - 25 - 99 = 1 > 0$

よって、$n \le 4$

したがって、$n=3, 4$

3. 最終的な答え

(1) $k=4$

(2) $x=4, 8$

(3) $S_n = n^3 - n^2 + 1$

(4) $n=3, 4$