与えられた2次関数 $y = 2x^2 - 4x + 5$ の最小値と、区間 $-3 \le x \le -1$ における最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた2次関数 $y = 2x^2 - 4x + 5$ の最小値と、区間 $-3 \le x \le -1$ における最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = 2x^2 - 4x + 5 = 2(x^2 - 2x) + 5 = 2(x^2 - 2x + 1 - 1) + 5 = 2(x - 1)^2 - 2 + 5 = 2(x - 1)^2 + 3$

この式から、頂点の座標は $(1, 3)$ であることがわかります。

$x^2$ の係数が正であるため、この2次関数は下に凸のグラフを持ちます。

したがって、$x = 1$ のとき、最小値は $3$ となります。

次に、区間 $-3 \le x \le -1$ における最小値を考えます。

頂点 $x = 1$ はこの区間には含まれません。

下に凸のグラフであるため、$x$ が頂点から離れるほど $y$ の値は大きくなります。

したがって、区間の端点である $x = -1$ で最小値をとります。

$x = -1$ を元の式に代入すると、

$y = 2(-1)^2 - 4(-1) + 5 = 2(1) + 4 + 5 = 2 + 4 + 5 = 11$

したがって、区間 $-3 \le x \le -1$ における最小値は $11$ となります。

3. 最終的な答え

最小値は $3$

区間 $-3 \le x \le -1$ における最小値は $11$