(1) 縦15cm、横27cmの長方形と同じ面積の正方形の1辺の長さを求める。 (2) $\sqrt{96a}$ を整数にする最小の自然数 $a$ の値を求める。 (3) $\sqrt{21-4n}$ を整数にする自然数 $n$ の値をすべて求める。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

(1) 縦15cm、横27cmの長方形と同じ面積の正方形の1辺の長さを求める。

(2) $\sqrt{96a}$ を整数にする最小の自然数 $a$ の値を求める。

(3) $\sqrt{21-4n}$ を整数にする自然数 $n$ の値をすべて求める。

2. 解き方の手順

(1) 長方形の面積を計算し、その面積と等しい正方形の一辺の長さを求める。

長方形の面積は $15 \times 27 = 405$ (cm$^2$)

正方形の一辺の長さを $x$ とすると、$x^2 = 405$

$x = \sqrt{405} = \sqrt{81 \times 5} = 9\sqrt{5}$

よって、正方形の1辺の長さは$9\sqrt{5}$ cm。

(2) $\sqrt{96a}$ を整数にする最小の自然数 $a$ を求める。

まず、96を素因数分解する。$96 = 2^5 \times 3$

$\sqrt{96a} = \sqrt{2^5 \times 3 \times a} = \sqrt{2^4 \times 2 \times 3 \times a} = 2^2 \sqrt{2 \times 3 \times a} = 4\sqrt{6a}$

$\sqrt{96a}$ が整数になるためには、$6a$ が平方数である必要がある。

$a$ が最小の自然数となるためには、$6a$ が最小の平方数になる必要がある。

したがって、$a = 6$ のとき、$6a = 36 = 6^2$ となり、$\sqrt{96a} = \sqrt{96 \times 6} = \sqrt{576} = 24$

よって、$a = 6$

(3) $\sqrt{21-4n}$ を整数にする自然数 $n$ の値をすべて求める。

$\sqrt{21-4n}$ が整数になるためには、$21-4n$ が0以上の平方数である必要がある。

$21-4n \ge 0$ より $4n \le 21$ なので、 $n \le \frac{21}{4} = 5.25$

$n$ は自然数なので、$n$ は1から5までの整数である。

$k$ を整数として、$21-4n = k^2$ とおくと、

$n=1$ のとき、$21-4(1)=17$ 平方数ではない。

$n=2$ のとき、$21-4(2)=13$ 平方数ではない。

$n=3$ のとき、$21-4(3)=9=3^2$ 整数となる。

$n=4$ のとき、$21-4(4)=5$ 平方数ではない。

$n=5$ のとき、$21-4(5)=1=1^2$ 整数となる。

したがって、$n=3$ および $n=5$

3. 最終的な答え

(1) $9\sqrt{5}$ cm

(2) $a=6$

(3) $n=3, 5$