多項式 $P$ と $Q$ が与えられています。 $P = 3x^4 - x^3 - 4x^2 - x + 3$ $Q = 3x^5 + 2x^4 - 5x^3 - 5x^2 + 2x + 3$ (1) $Q$ を $P$ の式で表してください。 (2) 方程式 $Q = 0$ を解いてください。

1. 問題の内容

多項式 $P$ と $Q$ が与えられています。

$P = 3x^4 - x^3 - 4x^2 - x + 3$

$Q = 3x^5 + 2x^4 - 5x^3 - 5x^2 + 2x + 3$

(1) $Q$ を $P$ の式で表してください。

(2) 方程式 $Q = 0$ を解いてください。

2. 解き方の手順

(1) $Q$ を $xP$ の形で表してみます。

$xP = 3x^5 - x^4 - 4x^3 - x^2 + 3x$

$Q - xP = (3x^5 + 2x^4 - 5x^3 - 5x^2 + 2x + 3) - (3x^5 - x^4 - 4x^3 - x^2 + 3x)$

$Q - xP = 3x^4 - x^3 - 4x^2 - x + 3 = P$

したがって、

$Q = xP + P = (x+1)P$

(2) $Q = 0$ を解くためには、$(x+1)P = 0$ を解けば良いです。

つまり、$x+1 = 0$ または $P = 0$ を解きます。

$x+1=0$ より、$x = -1$

$P = 3x^4 - x^3 - 4x^2 - x + 3 = 0$ を解きます。

$x=-1$ のとき、$P = 3 + 1 - 4 + 1 + 3 = 4 \ne 0$

$x=1$ のとき、$P = 3 - 1 - 4 - 1 + 3 = 0$

したがって、$P$ は $x-1$ で割り切れます。

実際に割り算を行うと、

$3x^4 - x^3 - 4x^2 - x + 3 = (x-1)(3x^3+2x^2-2x-3)$

したがって、$3x^3+2x^2-2x-3=0$

ここで、$x=1$ を代入すると、$3+2-2-3=0$ より、$3x^3+2x^2-2x-3$ は $x-1$ で割り切れる。

$3x^3+2x^2-2x-3=(x-1)(3x^2+5x+3)=0$

したがって、$3x^2+5x+3=0$

判別式 $D=5^2-4\cdot3\cdot3 = 25-36 = -11 < 0$

したがって、解は虚数解となる。

$x = \frac{-5 \pm \sqrt{-11}}{6} = \frac{-5 \pm i\sqrt{11}}{6}$

$Q=0$ の解は、$P=0$ または $x+1=0$

したがって、$x=-1, 1, 1, \frac{-5 \pm i\sqrt{11}}{6}$

3. 最終的な答え

(1) $Q = (x+1)P$

(2) $x = -1, 1, \frac{-5 + i\sqrt{11}}{6}, \frac{-5 - i\sqrt{11}}{6}$

ただし、$x=1$は$P=0$の重解