与えられた二次関数を$y=a(x-p)^2+q$の形に変形する問題です。 具体的には、以下の4つの二次関数を平方完成します。 (1) $y = x^2 + 4x - 1$ (2) $y = -x^2 - x + 2$ (3) $y = 3x^2 + 2x + 1$ (4) $y = -2x^2 + 3x$

1. 問題の内容

与えられた二次関数を$y=a(x-p)^2+q$の形に変形する問題です。

具体的には、以下の4つの二次関数を平方完成します。

(1) $y = x^2 + 4x - 1$

(2) $y = -x^2 - x + 2$

(3) $y = 3x^2 + 2x + 1$

(4) $y = -2x^2 + 3x$

2. 解き方の手順

平方完成の手順は以下の通りです。

(1) $x^2$の係数で$x^2$と$x$の項をくくります。

(2) $x$の係数の半分の二乗を足して引きます。

(3) 平方完成の形に変形します。

(4) 定数項を整理します。

各問題について手順を適用します。

(1) $y = x^2 + 4x - 1$

$y = (x^2 + 4x) - 1$

$y = (x^2 + 4x + 4 - 4) - 1$

$y = (x + 2)^2 - 4 - 1$

$y = (x + 2)^2 - 5$

(2) $y = -x^2 - x + 2$

$y = -(x^2 + x) + 2$

$y = -(x^2 + x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}) + 2$

$y = -(x + \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{4} + 2$

$y = -(x + \frac{1}{2})^2 + \frac{9}{4}$

(3) $y = 3x^2 + 2x + 1$

$y = 3(x^2 + \frac{2}{3}x) + 1$

$y = 3(x^2 + \frac{2}{3}x + \frac{1}{9} - \frac{1}{9}) + 1$

$y = 3(x + \frac{1}{3})^2 - \frac{1}{3} + 1$

$y = 3(x + \frac{1}{3})^2 + \frac{2}{3}$

(4) $y = -2x^2 + 3x$

$y = -2(x^2 - \frac{3}{2}x)$

$y = -2(x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{9}{16} - \frac{9}{16})$

$y = -2(x - \frac{3}{4})^2 + \frac{9}{8}$

3. 最終的な答え

(1) $y = (x + 2)^2 - 5$

(2) $y = -(x + \frac{1}{2})^2 + \frac{9}{4}$

(3) $y = 3(x + \frac{1}{3})^2 + \frac{2}{3}$

(4) $y = -2(x - \frac{3}{4})^2 + \frac{9}{8}$