(1) $\sqrt{3}+\sqrt{7}$ の整数部分を$\alpha$, 小数部分を$\beta$とする。このとき、$\alpha$の値を求め、$\frac{\alpha}{\alpha+\beta}$の値を求めよ。また、$\alpha^2 - 8\alpha - 8\beta - \beta^2$の値を求めよ。 (2) $(x+2)(x+5)(x-2)(x-5)+4x^2$を展開した式を求めよ。 (3) $x$を自然数とするとき、連立不等式 $\begin{cases} 3x^2 - 25x + 8 \leq 0 \\ x^2 - 4(\sqrt{5}+1)x + 16\sqrt{5} \leq 0 \end{cases}$を満たす自然数$x$の個数を求めよ。

1. 問題の内容

(1) $\sqrt{3}+\sqrt{7}$ の整数部分を$\alpha$, 小数部分を$\beta$とする。このとき、$\alpha$の値を求め、$\frac{\alpha}{\alpha+\beta}$の値を求めよ。また、$\alpha^2 - 8\alpha - 8\beta - \beta^2$の値を求めよ。

(2) $(x+2)(x+5)(x-2)(x-5)+4x^2$を展開した式を求めよ。

(3) $x$を自然数とするとき、連立不等式 $\begin{cases} 3x^2 - 25x + 8 \leq 0 \\ x^2 - 4(\sqrt{5}+1)x + 16\sqrt{5} \leq 0 \end{cases}$を満たす自然数$x$の個数を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$\sqrt{3} \approx 1.732$、$\sqrt{7} \approx 2.646$なので、$\sqrt{3} + \sqrt{7} \approx 1.732 + 2.646 = 4.378$。

よって、$\alpha = 4$。

$\beta = \sqrt{3} + \sqrt{7} - 4$。

$\alpha + \beta = \sqrt{3} + \sqrt{7}$。

$\frac{\alpha}{\alpha + \beta} = \frac{4}{\sqrt{3} + \sqrt{7}} = \frac{4(\sqrt{7}-\sqrt{3})}{(\sqrt{7}+\sqrt{3})(\sqrt{7}-\sqrt{3})} = \frac{4(\sqrt{7}-\sqrt{3})}{7-3} = \frac{4(\sqrt{7}-\sqrt{3})}{4} = \sqrt{7}-\sqrt{3}$。

よって、$\frac{\alpha}{\alpha+\beta} = \sqrt{7} - \sqrt{3}$。

$\alpha^2 - 8\alpha - 8\beta - \beta^2 = \alpha^2 - 8(\alpha + \beta) - \beta^2 = 4^2 - 8(\sqrt{3} + \sqrt{7}) - (\sqrt{3}+\sqrt{7}-4)^2$

$= 16 - 8\sqrt{3} - 8\sqrt{7} - (3+7+16+2\sqrt{21}-8\sqrt{3}-8\sqrt{7})$

$= 16 - 8\sqrt{3} - 8\sqrt{7} - (26+2\sqrt{21}-8\sqrt{3}-8\sqrt{7})$

$= 16 - 8\sqrt{3} - 8\sqrt{7} - 26 - 2\sqrt{21} + 8\sqrt{3} + 8\sqrt{7}$

$= 16 - 26 - 2\sqrt{21}$

$= -10 - 2\sqrt{21}$

$\approx -10 - 2 \times 4.58 = -10 - 9.16 = -19.16$。

$\alpha^2 - 8\alpha - 8\beta - \beta^2 = (\alpha+\beta)(\alpha-\beta) - 8(\alpha+\beta)$

$= (\sqrt{3}+\sqrt{7})(4 - (\sqrt{3}+\sqrt{7}-4)) - 8(\sqrt{3}+\sqrt{7})$

$= (\sqrt{3}+\sqrt{7})(8 - \sqrt{3} - \sqrt{7}) - 8(\sqrt{3}+\sqrt{7})$

$= 8\sqrt{3} + 8\sqrt{7} - 3 - \sqrt{21} - \sqrt{21} - 7 - 8\sqrt{3} - 8\sqrt{7}$

$= -10 - 2\sqrt{21}$

(2)

$(x+2)(x+5)(x-2)(x-5)+4x^2 = (x^2+7x+10)(x^2-7x+10)+4x^2 = (x^2+10)^2 - (7x)^2 + 4x^2 = x^4 + 20x^2 + 100 - 49x^2 + 4x^2 = x^4 - 25x^2 + 100$。

(3)

$3x^2 - 25x + 8 \leq 0$

$(3x-1)(x-8) \leq 0$

$\frac{1}{3} \leq x \leq 8$

$x^2 - 4(\sqrt{5}+1)x + 16\sqrt{5} \leq 0$

$(x-4)(x-4\sqrt{5}) \leq 0$

$4 \leq x \leq 4\sqrt{5}$

$\sqrt{5} \approx 2.236$より、$4\sqrt{5} \approx 8.944$。

$4 \leq x \leq 8.944$

$\frac{1}{3} \leq x \leq 8$と$4 \leq x \leq 4\sqrt{5}$より、$4 \leq x \leq 8$。

$x$は自然数なので、$x=4,5,6,7,8$の5個。

3. 最終的な答え

(1) ア：4, イ：7, ウ：3, エオカキ：-10, クケ：21

(2) コサ：25, シスセ：100

(3) ソ：5