与えられた5つの問題に答えます。 (1) $(a+b)^2 - 4$ を因数分解する。 (2) $x=-2$ のとき、$|3x| + x + 1$ の値を求める。 (3) $\frac{2+\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1}$ の分母を有理化し、整理する。 (4) $A = \{x | -1 < x < 4\}$, $B = \{x | -3 < x < 2\}$ のとき、$A \cap B$ を求める。 (5) 頂点が (1, 4) であり、点 (0, -2) を通る2次関数 $y=f(x)$ を求める。

1. 問題の内容

与えられた5つの問題に答えます。

(1) $(a+b)^2 - 4$ を因数分解する。

(2) $x=-2$ のとき、$|3x| + x + 1$ の値を求める。

(3) $\frac{2+\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1}$ の分母を有理化し、整理する。

(4) $A = \{x | -1 < x < 4\}$, $B = \{x | -3 < x < 2\}$ のとき、$A \cap B$ を求める。

(5) 頂点が (1, 4) であり、点 (0, -2) を通る2次関数 $y=f(x)$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) $(a+b)^2 - 4$ を因数分解します。

これは $A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$ の公式を利用できる形です。

$(a+b)^2 - 4 = (a+b)^2 - 2^2 = (a+b+2)(a+b-2)$

(2) $x=-2$ のとき、$|3x| + x + 1$ の値を求めます。

$|3x| = |3(-2)| = |-6| = 6$ なので、

$|3x| + x + 1 = 6 + (-2) + 1 = 6 - 2 + 1 = 5$

(3) $\frac{2+\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1}$ の分母を有理化します。

分母の $\sqrt{2}+1$ の共役な複素数は $\sqrt{2}-1$ なので、分子と分母に $\sqrt{2}-1$ を掛けます。

$\frac{2+\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1} = \frac{(2+\sqrt{2})(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)} = \frac{2\sqrt{2} - 2 + 2 - \sqrt{2}}{2-1} = \frac{\sqrt{2}}{1} = \sqrt{2}$

(4) $A = \{x | -1 < x < 4\}$, $B = \{x | -3 < x < 2\}$ のとき、$A \cap B$ を求めます。

$A \cap B$ は $A$ と $B$ の共通部分なので、$-1 < x < 4$ と $-3 < x < 2$ の両方を満たす $x$ の範囲を求めます。

$-1 < x < 2$ となります。

(5) 頂点が (1, 4) であり、点 (0, -2) を通る2次関数 $y=f(x)$ を求めます。

頂点が (1, 4) なので、

$f(x) = a(x-1)^2 + 4$ と表せます。

点 (0, -2) を通るので、 $f(0) = -2$ より、

$-2 = a(0-1)^2 + 4$

$-2 = a + 4$

$a = -6$

よって、$f(x) = -6(x-1)^2 + 4 = -6(x^2 - 2x + 1) + 4 = -6x^2 + 12x - 6 + 4 = -6x^2 + 12x - 2$

3. 最終的な答え

(1) $(a+b+2)(a+b-2)$

(2) $5$

(3) $\sqrt{2}$

(4) $-1 < x < 2$

(5) $f(x) = -6x^2 + 12x - 2$