(1) $a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)$ を利用して、$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc$ を因数分解する。 (2) (1)の結果を利用して、次の式を因数分解する。 (ア) $x^3 + y^3 + 3xy - 1$ (イ) $(x-y)^3 + (y-z)^3 + (z-x)^3$

1. 問題の内容

(1) $a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)$ を利用して、$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc$ を因数分解する。

(2) (1)の結果を利用して、次の式を因数分解する。

(ア) $x^3 + y^3 + 3xy - 1$

(イ) $(x-y)^3 + (y-z)^3 + (z-x)^3$

2. 解き方の手順

(1)

$a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)$ を用いて、$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc$ を変形する。

$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b)^3 - 3ab(a+b) + c^3 - 3abc$

ここで、$A = a+b$ とおくと、

$A^3 + c^3 - 3abA - 3abc = (A+c)^3 - 3Ac(A+c) - 3ab(A+c)$

$= (A+c)^3 - 3(a+b)c(a+b+c) - 3ab(a+b+c)$

$= (a+b+c)^3 - 3(a+b)c(a+b+c) - 3ab(a+b+c)$

$= (a+b+c)^3 - 3(ac + bc + ab)(a+b+c)$

$= (a+b+c)[(a+b+c)^2 - 3(ac + bc + ab)]$

$= (a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca - 3ac - 3bc - 3ab)$

$= (a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$

(2) (ア)

$x^3 + y^3 + 3xy - 1 = x^3 + y^3 + (-1)^3 - 3 \cdot x \cdot y \cdot (-1)$

(1)の結果を用いて、$a=x$, $b=y$, $c=-1$ とすると、

$(x+y-1)(x^2 + y^2 + 1 - xy + y + x)$

$(x+y-1)(x^2 + y^2 -xy + x + y + 1)$

(2) (イ)

$(x-y)^3 + (y-z)^3 + (z-x)^3$

$a = x-y$, $b = y-z$, $c = z-x$ とすると、

$a+b+c = (x-y) + (y-z) + (z-x) = 0$

(1)の結果より、

$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$

よって、$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 0$ より、$a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$

したがって、

$(x-y)^3 + (y-z)^3 + (z-x)^3 = 3(x-y)(y-z)(z-x)$

3. 最終的な答え

(1) $(a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$

(2) (ア) $(x+y-1)(x^2 + y^2 -xy + x + y + 1)$

(2) (イ) $3(x-y)(y-z)(z-x)$