与えられた数列の和 $S$ を求める問題です。数列は $S = 1\cdot 1 + 3\cdot 2 + 5\cdot 2^2 + \dots + (2n-1)\cdot 2^{n-1}$ で定義されています。

1. 問題の内容

与えられた数列の和 $S$ を求める問題です。数列は $S = 1\cdot 1 + 3\cdot 2 + 5\cdot 2^2 + \dots + (2n-1)\cdot 2^{n-1}$ で定義されています。

2. 解き方の手順

まず、$S$ を書き下します。

$S = 1\cdot 1 + 3\cdot 2 + 5\cdot 2^2 + \dots + (2n-1)\cdot 2^{n-1}$

次に、$2S$ を書き下します。

$2S = 1\cdot 2 + 3\cdot 2^2 + 5\cdot 2^3 + \dots + (2n-3)\cdot 2^{n-1} + (2n-1)\cdot 2^n$

$S - 2S$ を計算します。

$S - 2S = 1\cdot 1 + (3-1)\cdot 2 + (5-3)\cdot 2^2 + \dots + (2n-1 - (2n-3))\cdot 2^{n-1} - (2n-1)\cdot 2^n$

$-S = 1 + 2\cdot 2 + 2\cdot 2^2 + \dots + 2\cdot 2^{n-1} - (2n-1)\cdot 2^n$

$-S = 1 + 2(2 + 2^2 + \dots + 2^{n-1}) - (2n-1)\cdot 2^n$

等比数列の和の公式 $a + ar + ar^2 + \dots + ar^{n-1} = \frac{a(r^n - 1)}{r-1}$ を用います。

$2 + 2^2 + \dots + 2^{n-1} = \frac{2(2^{n-1} - 1)}{2-1} = 2(2^{n-1} - 1) = 2^n - 2$

$-S = 1 + 2(2^n - 2) - (2n-1)\cdot 2^n$

$-S = 1 + 2^{n+1} - 4 - (2n-1)\cdot 2^n$

$-S = 2^{n+1} - 3 - (2n-1)\cdot 2^n$

$-S = 2\cdot 2^n - 3 - (2n-1)\cdot 2^n$

$-S = (2 - 2n + 1)\cdot 2^n - 3$

$-S = (3 - 2n)\cdot 2^n - 3$

$S = (2n - 3)\cdot 2^n + 3$

3. 最終的な答え

$S = (2n-3)2^n + 3$