与えられた2次関数 $y=2x^2 - kx + 18$ について、以下の2つの問いに答える。 問1: このグラフがx軸と異なる2点で交わるようなkの値の範囲を求める。 問2: x軸との交点A, B間の距離が $\frac{5}{2}$ であるとき、kの値を求める。

1. 問題の内容

与えられた2次関数 $y=2x^2 - kx + 18$ について、以下の2つの問いに答える。

問1: このグラフがx軸と異なる2点で交わるようなkの値の範囲を求める。

問2: x軸との交点A, B間の距離が $\frac{5}{2}$ であるとき、kの値を求める。

2. 解き方の手順

問1:

2次関数 $y=2x^2 - kx + 18$ のグラフがx軸と異なる2点で交わる条件は、判別式Dが正であることである。

$D = (-k)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 18 = k^2 - 144$

$D > 0$ となるのは、

$k^2 - 144 > 0$

$(k - 12)(k + 12) > 0$

よって、$k < -12$ または $12 < k$

問2:

2次方程式 $2x^2 - kx + 18 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とする。解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = \frac{k}{2}$

$\alpha \beta = \frac{18}{2} = 9$

A, B間の距離は $|\alpha - \beta|$ であり、これが $\frac{5}{2}$ に等しい。

$(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha \beta$

$(\frac{5}{2})^2 = (\frac{k}{2})^2 - 4 \cdot 9$

$\frac{25}{4} = \frac{k^2}{4} - 36$

$25 = k^2 - 144$

$k^2 = 169$

$k = \pm 13$

3. 最終的な答え

問1: b. $k < -12, 12 < k$

問2: e. $\pm 13$