$xy$平面上に4点$(-2,1), (-1,-1), (1,2), (-2,-2)$がある。これらの点と直線$y=mx$の距離をそれぞれ$a, b, c, d$とおき、$k = a+b+c+d$とする。 (1) $k^2$を$m$の式で表せ。 (2) $k$の取りうる値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

$xy$平面上に4点$(-2,1), (-1,-1), (1,2), (-2,-2)$がある。これらの点と直線$y=mx$の距離をそれぞれ$a, b, c, d$とおき、$k = a+b+c+d$とする。

(1) $k^2$を$m$の式で表せ。

(2) $k$の取りうる値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 点$(x_0, y_0)$と直線$ax+by+c=0$の距離は$\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$で与えられる。

直線$y=mx$は$mx-y=0$と書き換えられる。

$a = \frac{|m(-2) - 1|}{\sqrt{m^2+1}} = \frac{|-2m-1|}{\sqrt{m^2+1}} = \frac{|2m+1|}{\sqrt{m^2+1}}$

$b = \frac{|m(-1) - (-1)|}{\sqrt{m^2+1}} = \frac{|-m+1|}{\sqrt{m^2+1}} = \frac{|m-1|}{\sqrt{m^2+1}}$

$c = \frac{|m(1) - 2|}{\sqrt{m^2+1}} = \frac{|m-2|}{\sqrt{m^2+1}}$

$d = \frac{|m(-2) - (-2)|}{\sqrt{m^2+1}} = \frac{|-2m+2|}{\sqrt{m^2+1}} = \frac{|2m-2|}{\sqrt{m^2+1}} = \frac{2|m-1|}{\sqrt{m^2+1}}$

したがって、$k = \frac{|2m+1|+|m-1|+|m-2|+2|m-1|}{\sqrt{m^2+1}} = \frac{|2m+1|+3|m-1|+|m-2|}{\sqrt{m^2+1}}$

$k^2 = \frac{(|2m+1|+3|m-1|+|m-2|)^2}{m^2+1}$

場合分けを行う。

(i) $m \ge 2$のとき、

$k = \frac{2m+1+3(m-1)+m-2}{\sqrt{m^2+1}} = \frac{6m-4}{\sqrt{m^2+1}}$

$k^2 = \frac{(6m-4)^2}{m^2+1} = \frac{36m^2-48m+16}{m^2+1}$

(ii) $1 \le m < 2$のとき、

$k = \frac{2m+1+3(m-1)-(m-2)}{\sqrt{m^2+1}} = \frac{4m}{\sqrt{m^2+1}}$

$k^2 = \frac{16m^2}{m^2+1}$

(iii) $-\frac{1}{2} \le m < 1$のとき、

$k = \frac{2m+1-3(m-1)-(m-2)}{\sqrt{m^2+1}} = \frac{-2m+6}{\sqrt{m^2+1}}$

$k^2 = \frac{(6-2m)^2}{m^2+1} = \frac{4m^2-24m+36}{m^2+1}$

(iv) $m < -\frac{1}{2}$のとき、

$k = \frac{-(2m+1)-3(m-1)-(m-2)}{\sqrt{m^2+1}} = \frac{-6m+4}{\sqrt{m^2+1}}$

$k^2 = \frac{(-6m+4)^2}{m^2+1} = \frac{36m^2-48m+16}{m^2+1}$

(2) $f(m) = \frac{(6m-4)^2}{m^2+1} = \frac{36m^2-48m+16}{m^2+1} = 36 - \frac{48m+20}{m^2+1}$

$g(m) = \frac{16m^2}{m^2+1} = 16 - \frac{16}{m^2+1}$

$h(m) = \frac{(6-2m)^2}{m^2+1} = \frac{4m^2-24m+36}{m^2+1} = 4-\frac{24m-32}{m^2+1}$

$m=1$のとき、$k^2 = \frac{16}{2} = 8$

$m=2$のとき、$k^2 = \frac{16 \times 4}{5} = \frac{64}{5}$

$m=-1/2$のとき、$k^2 = \frac{(6+1)^2}{(1/4)+1} = \frac{49}{5/4} = \frac{196}{5}$

$m=0$のとき、$k^2 = \frac{36}{1} = 36$

$f'(m) = \frac{(-48)(m^2+1) - (36m^2-48m+16)(2m)}{(m^2+1)^2} = \frac{-48m^2-48 - 72m^3+96m^2-32m}{(m^2+1)^2} = \frac{-72m^3+48m^2-32m-48}{(m^2+1)^2}$

$g'(m) = \frac{32m(m^2+1)-16m^2(2m)}{(m^2+1)^2} = \frac{32m^3+32m-32m^3}{(m^2+1)^2} = \frac{32m}{(m^2+1)^2}$

$h'(m) = \frac{(-24)(m^2+1)-(4m^2-24m+36)(2m)}{(m^2+1)^2} = \frac{-24m^2-24 - 8m^3+48m^2-72m}{(m^2+1)^2} = \frac{-8m^3+24m^2-72m-24}{(m^2+1)^2}$

$g'(m) = 0$のとき、$m=0$, よって$k^2 = 36, k=6$.

$k=\frac{4m}{\sqrt{m^2+1}}$, $k' = \frac{4\sqrt{m^2+1}-4m \frac{2m}{2\sqrt{m^2+1}}}{m^2+1} = \frac{4(m^2+1)-4m^2}{(m^2+1)^{3/2}} = \frac{4}{(m^2+1)^{3/2}} > 0$. $k$は単調増加.

$k=\frac{6m-4}{\sqrt{m^2+1}} = \frac{6-\frac{4}{m}}{\sqrt{1+\frac{1}{m^2}}}$

$k = \frac{6-2m}{\sqrt{m^2+1}}$

$-\frac{1}{2} \le m < 1$

$k = \frac{4m}{\sqrt{m^2+1}}$のとき、$0 \le m < 2$より、$0 \le k < \frac{8}{\sqrt{5}}$

$0 \le k < 8/\sqrt{5} \approx 3.57$.

$0<k<6$.

3. 最終的な答え

(1) $k^2 = \frac{(|2m+1|+3|m-1|+|m-2|)^2}{m^2+1}$

(2) $0< k \le 6$

$k^2 = \frac{16m^2}{m^2+1}$

$k$の取りうる値の範囲は$(0, 6]$

$m\ge 2$, $k^2 <36$

$1 \le m<2$, $k^2 \in [8,64/5)$

$-1/2\le m <1$, $k^2 \in [8,36]$

$m< -1/2$のとき，$k^2 <36$

最終的な答え

(1) $k^2 = \frac{(|2m+1|+3|m-1|+|m-2|)^2}{m^2+1}$

(2) $k$の取りうる値の範囲は$(0, 6]$