与えられた漸化式から数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。具体的には、以下の2つの数列について一般項を求めます。 (1) $a_1 = 1, a_{n+1} = a_n + 2$ (2) $a_1 = 1, a_{n+1} = 3a_n$

1. 問題の内容

与えられた漸化式から数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。具体的には、以下の2つの数列について一般項を求めます。

(1) $a_1 = 1, a_{n+1} = a_n + 2$

(2) $a_1 = 1, a_{n+1} = 3a_n$

2. 解き方の手順

(1) $a_1 = 1, a_{n+1} = a_n + 2$

この漸化式は、隣り合う項の差が一定であるため、等差数列を表します。公差 $d = 2$, 初項 $a_1 = 1$ の等差数列の一般項は、

$a_n = a_1 + (n-1)d$

で求められます。

したがって、

$a_n = 1 + (n-1)2 = 1 + 2n - 2 = 2n - 1$

(2) $a_1 = 1, a_{n+1} = 3a_n$

この漸化式は、隣り合う項の比が一定であるため、等比数列を表します。公比 $r = 3$, 初項 $a_1 = 1$ の等比数列の一般項は、

$a_n = a_1 r^{n-1}$

で求められます。

したがって、

$a_n = 1 \cdot 3^{n-1} = 3^{n-1}$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 2n - 1$

(2) $a_n = 3^{n-1}$