数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n = 3n^2 - 4n$ で与えられているとき、数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n = 3n^2 - 4n$ で与えられているとき、数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$n \ge 2$ のとき、$a_n = S_n - S_{n-1}$ が成り立つことを利用します。

$S_n = 3n^2 - 4n$ より、

$S_{n-1} = 3(n-1)^2 - 4(n-1) = 3(n^2 - 2n + 1) - 4n + 4 = 3n^2 - 6n + 3 - 4n + 4 = 3n^2 - 10n + 7$

したがって、$n \ge 2$ のとき、

$a_n = S_n - S_{n-1} = (3n^2 - 4n) - (3n^2 - 10n + 7) = 3n^2 - 4n - 3n^2 + 10n - 7 = 6n - 7$

次に、初項 $a_1$ を求めます。$S_n$ の定義より、$a_1 = S_1$ なので、

$a_1 = S_1 = 3(1)^2 - 4(1) = 3 - 4 = -1$

$a_n = 6n - 7$ に $n = 1$ を代入すると、$a_1 = 6(1) - 7 = -1$ となり、これは $a_1 = S_1 = -1$ と一致します。

よって、$a_n = 6n - 7$ は $n \ge 1$ で成り立つ一般項となります。

3. 最終的な答え

$a_n = 6n - 7$