数列 $\{a_n\}$ があり、以下の漸化式で定義される。 $a_1 = 1$ $a_{n+1} = \frac{n}{n+1} a_n + 1 \quad (n = 1, 2, 3, \dots)$ (1) $a_2, a_3, a_4$ を求めよ。 (2) 第 $n$ 項 $a_n$ を推測し、それを数学的帰納法を用いて証明せよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ があり、以下の漸化式で定義される。

$a_1 = 1$

$a_{n+1} = \frac{n}{n+1} a_n + 1 \quad (n = 1, 2, 3, \dots)$

(1) $a_2, a_3, a_4$ を求めよ。

(2) 第 $n$ 項 $a_n$ を推測し、それを数学的帰納法を用いて証明せよ。

2. 解き方の手順

(1) $a_2, a_3, a_4$ を求める。

$n=1$ のとき、

$a_2 = \frac{1}{2} a_1 + 1 = \frac{1}{2} \cdot 1 + 1 = \frac{3}{2}$

$n=2$ のとき、

$a_3 = \frac{2}{3} a_2 + 1 = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} + 1 = 1 + 1 = 2$

$n=3$ のとき、

$a_4 = \frac{3}{4} a_3 + 1 = \frac{3}{4} \cdot 2 + 1 = \frac{3}{2} + 1 = \frac{5}{2}$

(2) $a_n$ を推測し、数学的帰納法で証明する。

$a_1 = 1 = \frac{1+1}{2}$, $a_2 = \frac{3}{2} = \frac{2+1}{2}$, $a_3 = 2 = \frac{3+1}{2}$, $a_4 = \frac{5}{2} = \frac{4+1}{2}$ より、

$a_n = \frac{n+1}{2}$ と推測できる。

数学的帰納法で証明する。

(i) $n=1$ のとき、

$a_1 = \frac{1+1}{2} = 1$ であり成立する。

(ii) $n=k$ のとき、$a_k = \frac{k+1}{2}$ が成立すると仮定する。

$n=k+1$ のとき、

$a_{k+1} = \frac{k}{k+1} a_k + 1 = \frac{k}{k+1} \cdot \frac{k+1}{2} + 1 = \frac{k}{2} + 1 = \frac{k+2}{2} = \frac{(k+1)+1}{2}$

よって、$n=k+1$ のときも成立する。

(i), (ii) より、全ての自然数 $n$ に対して、$a_n = \frac{n+1}{2}$ が成立する。

3. 最終的な答え

(1) $a_2 = \frac{3}{2}$, $a_3 = 2$, $a_4 = \frac{5}{2}$

(2) $a_n = \frac{n+1}{2}$