$x = \frac{\sqrt{30}}{\sqrt{6} + \sqrt{5}}$, $y = \frac{\sqrt{30}}{\sqrt{6} - \sqrt{5}}$のとき、$x+y$と$x^2 + y^2$の値を求めよ。

1. 問題の内容

$x = \frac{\sqrt{30}}{\sqrt{6} + \sqrt{5}}$, $y = \frac{\sqrt{30}}{\sqrt{6} - \sqrt{5}}$のとき、$x+y$と$x^2 + y^2$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x+y$を計算します。

$x + y = \frac{\sqrt{30}}{\sqrt{6} + \sqrt{5}} + \frac{\sqrt{30}}{\sqrt{6} - \sqrt{5}}$

$x + y = \frac{\sqrt{30}(\sqrt{6} - \sqrt{5}) + \sqrt{30}(\sqrt{6} + \sqrt{5})}{(\sqrt{6} + \sqrt{5})(\sqrt{6} - \sqrt{5})}$

$x + y = \frac{\sqrt{30}(\sqrt{6} - \sqrt{5} + \sqrt{6} + \sqrt{5})}{6 - 5}$

$x + y = \frac{\sqrt{30}(2\sqrt{6})}{1}$

$x + y = 2\sqrt{180}$

$x + y = 2\sqrt{36 \cdot 5}$

$x + y = 2 \cdot 6\sqrt{5}$

$x + y = 12\sqrt{5}$

したがって、$x+y = 12\sqrt{5}$なので、13の答えは④です。

次に、$x^2 + y^2$を計算します。

$x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy$

$x+y = 12\sqrt{5}$であることがわかっているので、$(x+y)^2 = (12\sqrt{5})^2 = 144 \cdot 5 = 720$

次に、$xy$を計算します。

$xy = \frac{\sqrt{30}}{\sqrt{6} + \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{30}}{\sqrt{6} - \sqrt{5}}$

$xy = \frac{30}{6 - 5}$

$xy = 30$

したがって、$2xy = 2 \cdot 30 = 60$

$x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = 720 - 60 = 660$

したがって、$x^2 + y^2 = 660$なので、14の答えは②です。

3. 最終的な答え

13: ④

14: ②