数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。与えられた数列は $2, 4, 7, 11, 16, \dots$ です。階差数列が等差数列になっていることから、元の数列は2階差数列であると考えられます。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。与えられた数列は $2, 4, 7, 11, 16, \dots$ です。階差数列が等差数列になっていることから、元の数列は2階差数列であると考えられます。

2. 解き方の手順

与えられた数列を $\{a_n\}$ とします。

$a_1 = 2$

$a_2 = 4$

$a_3 = 7$

$a_4 = 11$

$a_5 = 16$

階差数列 $\{b_n\}$ を計算します。

$b_1 = a_2 - a_1 = 4 - 2 = 2$

$b_2 = a_3 - a_2 = 7 - 4 = 3$

$b_3 = a_4 - a_3 = 11 - 7 = 4$

$b_4 = a_5 - a_4 = 16 - 11 = 5$

階差数列 $\{b_n\}$ は $2, 3, 4, 5, \dots$ となり、これは初項2、公差1の等差数列です。

したがって、$b_n = 2 + (n-1) \cdot 1 = n+1$ となります。

数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求めます。

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (k+1)$

$a_n = 2 + \sum_{k=1}^{n-1} (k+1) = 2 + \sum_{k=1}^{n-1} k + \sum_{k=1}^{n-1} 1$

$\sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)n}{2}$

$\sum_{k=1}^{n-1} 1 = n-1$

よって、

$a_n = 2 + \frac{(n-1)n}{2} + (n-1) = 2 + \frac{n^2 - n}{2} + n - 1 = 1 + \frac{n^2 - n + 2n}{2} = 1 + \frac{n^2 + n}{2} = \frac{n^2 + n + 2}{2}$

3. 最終的な答え

$a_n = \frac{n^2 + n + 2}{2}$