問題は、多項式 $(x+y)^3$ を展開したときの $x^2y$ の項の係数と、多項式 $(m+n)^5$ を展開したときの $mn^4$ の項の係数を求める問題です。

1. 問題の内容

問題は、多項式 $(x+y)^3$ を展開したときの $x^2y$ の項の係数と、多項式 $(m+n)^5$ を展開したときの $mn^4$ の項の係数を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $(x+y)^3$ の展開における $x^2y$ の項の係数を求めます。二項定理より、

$(x+y)^3 = {}_3C_0 x^3 y^0 + {}_3C_1 x^2 y^1 + {}_3C_2 x^1 y^2 + {}_3C_3 x^0 y^3$

$x^2y$ の項は ${}_3C_1 x^2 y^1$ であり、${}_3C_1 = \frac{3!}{1!2!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{1 \times 2 \times 1} = 3$ です。したがって、$x^2y$ の係数は3です。

(2) $(m+n)^5$ の展開における $mn^4$ の項の係数を求めます。二項定理より、

$(m+n)^5 = {}_5C_0 m^5 n^0 + {}_5C_1 m^4 n^1 + {}_5C_2 m^3 n^2 + {}_5C_3 m^2 n^3 + {}_5C_4 m^1 n^4 + {}_5C_5 m^0 n^5$

$mn^4$ の項は ${}_5C_4 m^1 n^4$ であり、${}_5C_4 = \frac{5!}{4!1!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 1} = 5$ です。したがって、$mn^4$ の係数は5です。

3. 最終的な答え

(1) の答え: 3

(2) の答え: 5