関数 $y = -\frac{2}{3}x^2$ において、以下の定義域に対する値域を求める問題です。 (1) $1 \le x \le 3$ (2) $-\frac{3}{4} \le x \le \frac{3}{2}$ (3) $-1 \le x \le \sqrt{3}$

1. 問題の内容

関数 $y = -\frac{2}{3}x^2$ において、以下の定義域に対する値域を求める問題です。

(1) $1 \le x \le 3$

(2) $-\frac{3}{4} \le x \le \frac{3}{2}$

(3) $-1 \le x \le \sqrt{3}$

2. 解き方の手順

関数 $y = -\frac{2}{3}x^2$ は上に凸な放物線であるため、定義域に $x=0$ が含まれる場合は、最大値は $y=0$ となります。定義域の端点の $y$ の値を計算し、それらを比較して値域を決定します。

(1) $1 \le x \le 3$ の場合

$x=1$ のとき、$y = -\frac{2}{3}(1)^2 = -\frac{2}{3}$

$x=3$ のとき、$y = -\frac{2}{3}(3)^2 = -\frac{2}{3}(9) = -6$

したがって、値域は $-6 \le y \le -\frac{2}{3}$ となります。

(2) $-\frac{3}{4} \le x \le \frac{3}{2}$ の場合

$x=0$ が定義域に含まれるため、最大値は $y=0$ です。

$x = -\frac{3}{4}$ のとき、$y = -\frac{2}{3}(-\frac{3}{4})^2 = -\frac{2}{3}(\frac{9}{16}) = -\frac{3}{8}$

$x = \frac{3}{2}$ のとき、$y = -\frac{2}{3}(\frac{3}{2})^2 = -\frac{2}{3}(\frac{9}{4}) = -\frac{3}{2}$

したがって、値域は $-\frac{3}{2} \le y \le 0$ となります。

(3) $-1 \le x \le \sqrt{3}$ の場合

$x=0$ が定義域に含まれるため、最大値は $y=0$ です。

$x=-1$ のとき、$y = -\frac{2}{3}(-1)^2 = -\frac{2}{3}$

$x = \sqrt{3}$ のとき、$y = -\frac{2}{3}(\sqrt{3})^2 = -\frac{2}{3}(3) = -2$

したがって、値域は $-2 \le y \le 0$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $-6 \le y \le -\frac{2}{3}$

(2) $-\frac{3}{2} \le y \le 0$

(3) $-2 \le y \le 0$