数学的帰納法を用いて、次の等式を証明します。 $1 + 5 + 9 + \dots + (4n - 3) = n(2n - 1)$

1. 問題の内容

数学的帰納法を用いて、次の等式を証明します。

$1 + 5 + 9 + \dots + (4n - 3) = n(2n - 1)$

2. 解き方の手順

(1) $n=1$ のとき：

左辺 $= 1$

右辺 $= 1(2 \cdot 1 - 1) = 1$

よって、$n=1$ のとき等式は成立します。

(2) $n=k$ のとき等式が成立すると仮定します。つまり、

$1 + 5 + 9 + \dots + (4k - 3) = k(2k - 1)$

が成立すると仮定します。

(3) $n=k+1$ のときを考えます。つまり、以下の等式が成立することを示します。

$1 + 5 + 9 + \dots + (4k - 3) + (4(k+1) - 3) = (k+1)(2(k+1) - 1)$

左辺 $= 1 + 5 + 9 + \dots + (4k - 3) + (4(k+1) - 3)$

$= k(2k - 1) + (4(k+1) - 3)$ (帰納法の仮定より)

$= 2k^2 - k + 4k + 4 - 3$

$= 2k^2 + 3k + 1$

右辺 $= (k+1)(2(k+1) - 1)$

$= (k+1)(2k + 2 - 1)$

$= (k+1)(2k + 1)$

$= 2k^2 + k + 2k + 1$

$= 2k^2 + 3k + 1$

左辺 $=$ 右辺なので、$n=k+1$ のときも等式は成立します。

(1), (3) より、数学的帰納法によって、すべての自然数 $n$ について、与えられた等式は成立します。

3. 最終的な答え

$1 + 5 + 9 + \dots + (4n - 3) = n(2n - 1)$