数列 $\{a_n\}$ が、$a_1=2$ および漸化式 $a_{n+1}=-3a_n+4$ で定められているとき、数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が、$a_1=2$ および漸化式 $a_{n+1}=-3a_n+4$ で定められているとき、数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、漸化式を特性方程式を用いて変形します。特性方程式を $x = -3x + 4$ とおくと、

$4x = 4$

$x = 1$

したがって、漸化式は

$a_{n+1}-1 = -3(a_n - 1)$

と変形できます。

$b_n = a_n - 1$ とおくと、数列 $\{b_n\}$ は、$b_{n+1} = -3b_n$ を満たす等比数列となります。

初項は $b_1 = a_1 - 1 = 2 - 1 = 1$ であり、公比は $-3$ です。

したがって、数列 $\{b_n\}$ の一般項は

$b_n = 1 \cdot (-3)^{n-1} = (-3)^{n-1}$

と表されます。

$b_n = a_n - 1$ より、$a_n = b_n + 1$ なので、

$a_n = (-3)^{n-1} + 1$

3. 最終的な答え

$a_n = (-3)^{n-1} + 1$