3次方程式 $x^3 - 3a^2x + 4a = 0$ が異なる3つの実数解を持つとき、定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 - 3a^2x + 4a = 0$ が異なる3つの実数解を持つとき、定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた3次方程式を $f(x) = x^3 - 3a^2x + 4a$ とおきます。

3次方程式が異なる3つの実数解を持つためには、$f(x)$ が極値を持ち、極大値と極小値の符号が異なる必要があります。

まず、$f(x)$ を微分します。

$f'(x) = 3x^2 - 3a^2$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$3x^2 - 3a^2 = 0$

$x^2 = a^2$

$x = \pm a$

$x = a$ と $x = -a$ が極値を与える $x$ 座標です。$a=0$のときは極値を持たないため、$a \neq 0$を仮定します。

$f(a)$ と $f(-a)$ を計算します。

$f(a) = a^3 - 3a^3 + 4a = -2a^3 + 4a = 2a(-a^2 + 2)$

$f(-a) = -a^3 + 3a^3 + 4a = 2a^3 + 4a = 2a(a^2 + 2)$

$f(x)$ が異なる3つの実数解を持つためには、$f(a)$ と $f(-a)$ の符号が異なり、積が負である必要があります。

$f(a) f(-a) < 0$

$(2a(-a^2 + 2)) (2a(a^2 + 2)) < 0$

$4a^2 (-a^2 + 2)(a^2 + 2) < 0$

$a \neq 0$ なので、$a^2 > 0$

よって、 $(-a^2 + 2)(a^2 + 2) < 0$

$-(a^2 - 2)(a^2 + 2) < 0$

$(a^2 - 2)(a^2 + 2) > 0$

$a^4 - 4 > 0$

$a^4 > 4$

$a^2 > 2$

したがって、

$a < -\sqrt{2}$ または $a > \sqrt{2}$

次に、$a=0$の場合を検討します。

$x^3=0$となるので、$x=0$の３重解となり、異なる３つの実数解を持ちません。

3. 最終的な答え

$a < -\sqrt{2}, \sqrt{2} < a$