$R[x]_2$ から $R[x]_2$ への線形変換 $T$ について、以下の問いに答えます。 (i) $g_T(t)$ を求めよ。(これは問題文に十分な情報がないため、解くことができません。$g_T(t)$ が何を意味するのかが不明です。) (ii) $T$ の固有値 $\lambda$ を求めよ。 (iii) $T$ の各固有値 $\lambda$ について、固有空間 $W(\lambda; T)$ を求めよ。 ここでは、問題(1) $T(f(x)) = f(1-x)$ について、(ii)と(iii)を解きます。

1. 問題の内容

$R[x]_2$ から $R[x]_2$ への線形変換 $T$ について、以下の問いに答えます。

(i) $g_T(t)$ を求めよ。(これは問題文に十分な情報がないため、解くことができません。$g_T(t)$ が何を意味するのかが不明です。)

(ii) $T$ の固有値 $\lambda$ を求めよ。

(iii) $T$ の各固有値 $\lambda$ について、固有空間 $W(\lambda; T)$ を求めよ。

ここでは、問題(1) $T(f(x)) = f(1-x)$ について、(ii)と(iii)を解きます。

2. 解き方の手順

(ii) 固有値 $\lambda$ を求める。

固有ベクトル $f(x)$ は $T(f(x)) = \lambda f(x)$ を満たします。

$T(f(x)) = f(1-x) = \lambda f(x)$

この式を満たす $f(x)$ と $\lambda$ を探します。

両辺に $T$ を作用させると、

$T(T(f(x))) = T(f(1-x)) = f(1-(1-x)) = f(x) = \lambda T(f(x)) = \lambda (\lambda f(x)) = \lambda^2 f(x)$

よって、$f(x) = \lambda^2 f(x)$。

$f(x) \neq 0$ より、$\lambda^2 = 1$。

したがって、固有値は $\lambda = 1, -1$ です。

(iii) 固有空間 $W(\lambda; T)$ を求める。

$\lambda = 1$ のとき、$f(1-x) = f(x)$ を満たす $f(x)$ を求めます。

$f(x) = a x^2 + bx + c$ とおくと、$f(1-x) = a(1-x)^2 + b(1-x) + c = a(1 - 2x + x^2) + b - bx + c = ax^2 - 2ax + a - bx + b + c = ax^2 + (-2a - b)x + a + b + c$。

これが $ax^2 + bx + c$ と等しいので、$-2a - b = b$ と $a + b + c = c$ が成り立ちます。

したがって、$2a + 2b = 0$ かつ $a + b = 0$。

$a = -b$ なので、$f(x) = ax^2 - ax + c = a(x^2 - x) + c$。

よって、$W(1; T) = \{ a(x^2 - x) + c \mid a, c \in R \} = span\{x^2 - x, 1\}$。

$\lambda = -1$ のとき、$f(1-x) = -f(x)$ を満たす $f(x)$ を求めます。

$f(x) = a x^2 + bx + c$ とおくと、$f(1-x) = a(1-x)^2 + b(1-x) + c = ax^2 + (-2a - b)x + a + b + c$。

これが $-ax^2 - bx - c$ と等しいので、$a = -a$, $-2a - b = -b$, $a + b + c = -c$ が成り立ちます。

したがって、$a = 0$ かつ $b = -b$ かつ $b + 2c = 0$。

$a = 0$ で、$b = 0$ で、$c = 0$。したがって、$b = -2c$ なので、$2c = 0$,$c=0$となり、$b=-2c=0$

$2a=0$,つまり$a=0$

$-2a-b=-b$は$b$が任意のとき満たされる

$a+b+c=-c$より、$a+b+2c=0$,つまり$b+2c=0$となる。ゆえに$b=-2c$

なので、$f(x)=b(x-x^2)$と書ける。

したがって、$f(x)=bx$.

$f(x) = a x^2 + bx + c$とおくと、$f(1-x)=a(1-x)^2 + b(1-x) + c =a(1-2x+x^2)+b-bx+c = ax^2 -2ax + a + bx -b +c = ax^2 +(-2a-b)x + a+b+c$

$-f(x) =-ax^2 - bx -c$

$a=-a$

$-2a-b = -b$

$a+b+c=-c$

より、$a=0$と$a=0$,$b+2c=0$,$b=-2c$

$W(-1; T) = \{b(x-1/2)\} =span\{x-1/2\}$

$a=0$なので、$f(x)= bx+c$, $c=-b/2$

よって、$f(x) =bx$

2. 最終的な答え

(ii) 固有値: $\lambda = 1, -1$

(iii) 固有空間:

$W(1; T) = span\{x^2-x, 1\}$

$W(-1; T) = span\{x-\frac{1}{2}\}$