行列 $A = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 4 & 1 \end{bmatrix}$ を対角化する。

## (1)

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 4 & 1 \end{bmatrix}$ を対角化する。

2. 解き方の手順

まず、行列 $A$ の固有値を求める。固有方程式は、

$\det(A - \lambda I) = 0$

ここで、$I$は単位行列、$\lambda$は固有値を表す。したがって、

$\det \begin{bmatrix} -2-\lambda & 1 \\ 4 & 1-\lambda \end{bmatrix} = (-2-\lambda)(1-\lambda) - (1)(4) = 0$

これを展開すると、

$\lambda^2 + \lambda - 6 = 0$

これは、$(\lambda + 3)(\lambda - 2) = 0$ と因数分解できるので、固有値は $\lambda_1 = -3$ と $\lambda_2 = 2$ である。

次に、各固有値に対応する固有ベクトルを求める。

$\lambda_1 = -3$ のとき:

$(A - \lambda_1 I)v_1 = 0$

$\begin{bmatrix} -2-(-3) & 1 \\ 4 & 1-(-3) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 4 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

したがって、$x_1 + x_2 = 0$ となる。$x_1 = 1$ とすると、$x_2 = -1$ となるので、固有ベクトル $v_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}$ である。

$\lambda_2 = 2$ のとき:

$(A - \lambda_2 I)v_2 = 0$

$\begin{bmatrix} -2-2 & 1 \\ 4 & 1-2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} -4 & 1 \\ 4 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

したがって、$-4x_1 + x_2 = 0$ となる。$x_1 = 1$ とすると、$x_2 = 4$ となるので、固有ベクトル $v_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 4 \end{bmatrix}$ である。

固有ベクトルを列ベクトルとする行列 $P$ を作成する。

$P = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 4 \end{bmatrix}$

$P$の逆行列は、

$P^{-1} = \frac{1}{(1)(4) - (1)(-1)} \begin{bmatrix} 4 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \frac{1}{5} \begin{bmatrix} 4 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4/5 & -1/5 \\ 1/5 & 1/5 \end{bmatrix}$

したがって、対角化された行列 $D$ は、

$D = P^{-1} A P = \begin{bmatrix} 4/5 & -1/5 \\ 1/5 & 1/5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 4 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

$P = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 4 \end{bmatrix}$

$D = \begin{bmatrix} -3 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$