与えられた行列 $A = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 4 & 1 \end{bmatrix}$ を対角化する。

## (1) の問題

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 4 & 1 \end{bmatrix}$ を対角化する。

2. 解き方の手順

(a) 固有値を求める。固有方程式 $\det(A - \lambda I) = 0$ を解く。ここで $I$ は単位行列である。

$A - \lambda I = \begin{bmatrix} -2 - \lambda & 1 \\ 4 & 1 - \lambda \end{bmatrix}$

$\det(A - \lambda I) = (-2 - \lambda)(1 - \lambda) - (1)(4) = -2 + 2\lambda - \lambda + \lambda^2 - 4 = \lambda^2 + \lambda - 6 = (\lambda + 3)(\lambda - 2) = 0$

よって、固有値は $\lambda_1 = -3$ と $\lambda_2 = 2$ である。

(b) 各固有値に対応する固有ベクトルを求める。

$\lambda_1 = -3$ のとき:

$(A - \lambda_1 I)v_1 = 0$ を解く。

$\begin{bmatrix} -2 - (-3) & 1 \\ 4 & 1 - (-3) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 4 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

$x + y = 0$ より $y = -x$. したがって、固有ベクトルは $v_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}$ (またはその定数倍)。

$\lambda_2 = 2$ のとき:

$(A - \lambda_2 I)v_2 = 0$ を解く。

$\begin{bmatrix} -2 - 2 & 1 \\ 4 & 1 - 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -4 & 1 \\ 4 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

$-4x + y = 0$ より $y = 4x$. したがって、固有ベクトルは $v_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 4 \end{bmatrix}$ (またはその定数倍)。

(c) 固有ベクトルを並べて行列 $P$ を作る。

$P = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 4 \end{bmatrix}$

(d) 対角行列 $D$ を作る。対角成分は固有値である。

$D = \begin{bmatrix} -3 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$

(e) $P^{-1}$ を求める。

$\det(P) = (1)(4) - (1)(-1) = 4 + 1 = 5$

$P^{-1} = \frac{1}{5} \begin{bmatrix} 4 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$

(f) 対角化の結果は $P^{-1}AP = D$ となる。ここで$A=PDP^{-1}$となる。

3. 最終的な答え

$P = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 4 \end{bmatrix}$, $D = \begin{bmatrix} -3 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$, $P^{-1} = \frac{1}{5} \begin{bmatrix} 4 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$