縦12cm、横16cmの絵を台紙に貼ったところ、周りの余白の幅が同じになった。絵の面積が台紙の面積の3/5であるとき、余白の幅 $x$ cmを求めよ。

1. 問題の内容

縦12cm、横16cmの絵を台紙に貼ったところ、周りの余白の幅が同じになった。絵の面積が台紙の面積の3/5であるとき、余白の幅 $x$ cmを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、台紙の縦と横の長さを求める。

台紙の縦の長さは $12 + 2x$ cm、横の長さは $16 + 2x$ cmとなる。

台紙の面積は $(12 + 2x)(16 + 2x)$ と表せる。

絵の面積は $12 \times 16 = 192$ である。

問題文より、絵の面積は台紙の面積の3/5なので、

$192 = \frac{3}{5}(12 + 2x)(16 + 2x)$

となる。この式を解いて$x$を求める。

両辺に $5/3$ をかけると

$\frac{5}{3} \times 192 = (12 + 2x)(16 + 2x)$

$320 = (12 + 2x)(16 + 2x)$

$320 = 192 + 24x + 32x + 4x^2$

$320 = 4x^2 + 56x + 192$

$0 = 4x^2 + 56x + 192 - 320$

$0 = 4x^2 + 56x - 128$

両辺を4で割ると

$0 = x^2 + 14x - 32$

これを因数分解すると

$0 = (x + 16)(x - 2)$

$x = -16, 2$

$x$は長さを表すので、$x > 0$より、$x = 2$

3. 最終的な答え

余白の幅は 2 cm