$\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1}$ の分母を有理化しなさい。

1. 問題の内容

$\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1}$ の分母を有理化しなさい。

2. 解き方の手順

分母を有理化するには、分母の共役複素数 ($\sqrt{3} - 1$) を分子と分母の両方に掛けます。

$\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)}$

分子を展開します。

$(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} - 1) = (\sqrt{3})^2 - 2\sqrt{3} + 1 = 3 - 2\sqrt{3} + 1 = 4 - 2\sqrt{3}$

分母を展開します。

$(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1) = (\sqrt{3})^2 - 1^2 = 3 - 1 = 2$

したがって、

$\frac{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2}$

最後に、分数を簡約します。

$\frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = \frac{2(2 - \sqrt{3})}{2} = 2 - \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$2 - \sqrt{3}$