(1) 方程式 $5x + 3y + z = 21$ を満たす自然数 $x, y, z$ の組の個数を求める。 (2) 方程式 $2x^2 + 5xy + 3y^2 - y - 5 = 0$ を満たす整数の組 $(x, y)$ を全て求める。

1. 問題の内容

(1) 方程式 $5x + 3y + z = 21$ を満たす自然数 $x, y, z$ の組の個数を求める。

(2) 方程式 $2x^2 + 5xy + 3y^2 - y - 5 = 0$ を満たす整数の組 $(x, y)$ を全て求める。

2. 解き方の手順

(1) $x, y, z$ は自然数なので、$x \geq 1, y \geq 1, z \geq 1$ である。

まず、$x$ の範囲を求める。$5x < 21$ より、$x \leq 4$ である。したがって、$x = 1, 2, 3, 4$ と場合分けして考える。

* $x = 1$ のとき、$3y + z = 16$。 $3y < 16$ より $y \leq 5$。

* $y = 1$ のとき、$z = 13$。

* $y = 2$ のとき、$z = 10$。

* $y = 3$ のとき、$z = 7$。

* $y = 4$ のとき、$z = 4$。

* $y = 5$ のとき、$z = 1$。

* $x = 2$ のとき、$3y + z = 11$。 $3y < 11$ より $y \leq 3$。

* $y = 1$ のとき、$z = 8$。

* $y = 2$ のとき、$z = 5$。

* $y = 3$ のとき、$z = 2$。

* $x = 3$ のとき、$3y + z = 6$。 $3y < 6$ より $y \leq 1$。

* $y = 1$ のとき、$z = 3$。

* $x = 4$ のとき、$3y + z = 1$。これは、$y \geq 1, z \geq 1$ を満たさない。

したがって、組の数は $5 + 3 + 1 = 9$ である。

(2) 与えられた式を $x$ について解く。

$2x^2 + 5xy + 3y^2 - y - 5 = 0$

$2x^2 + (5y)x + (3y^2 - y - 5) = 0$

$x = \frac{-5y \pm \sqrt{(5y)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (3y^2 - y - 5)}}{2 \cdot 2}$

$x = \frac{-5y \pm \sqrt{25y^2 - 24y^2 + 8y + 40}}{4}$

$x = \frac{-5y \pm \sqrt{y^2 + 8y + 40}}{4}$

$x$ が整数であるためには、$y^2 + 8y + 40$ が平方数である必要がある。

$y^2 + 8y + 40 = n^2$ (n は整数)とおく。

$(y + 4)^2 + 24 = n^2$

$n^2 - (y + 4)^2 = 24$

$(n - (y + 4))(n + (y + 4)) = 24$

$(n - y - 4)(n + y + 4) = 24$

$A = n - y - 4, B = n + y + 4$ とおくと、$AB = 24$。

$A + B = 2n$ なので、$A+B$ は偶数である必要がある。

また、$B - A = 2y + 8$ より、$B-A$ も偶数。したがって、$A, B$ は共に偶数である。

偶数の組 $(A, B)$ として $(2, 12), (4, 6), (-2, -12), (-4, -6), (12, 2), (6, 4), (-12, -2), (-6, -4)$ が考えられる。

* $(2, 12)$ のとき、$2y + 8 = 10$ より $y = 1$。 $x = \frac{-5 \pm \sqrt{49}}{4} = \frac{-5 \pm 7}{4}$。 $x = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ または $x = \frac{-12}{4} = -3$。よって $(x, y) = (-3, 1)$

* $(4, 6)$ のとき、$2y + 8 = 2$ より $y = -3$。 $x = \frac{15 \pm \sqrt{25}}{4} = \frac{15 \pm 5}{4}$。 $x = \frac{20}{4} = 5$ または $x = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$。よって $(x, y) = (5, -3)$

* $(-2, -12)$ のとき、$2y + 8 = -10$ より $y = -9$。 $x = \frac{45 \pm \sqrt{121}}{4} = \frac{45 \pm 11}{4}$。 $x = \frac{56}{4} = 14$ または $x = \frac{34}{4} = \frac{17}{2}$。よって $(x, y) = (14, -9)$

* $(-4, -6)$ のとき、$2y + 8 = -2$ より $y = -5$。 $x = \frac{25 \pm \sqrt{5}}{4} = \frac{25 \pm 3}{4}$。 $x = \frac{25 \pm 3}{4} = \frac{28}{4}=7, x=\frac{22}{4}=\frac{11}{2}$ よって $x = \frac{25 \pm 3}{4}$

* $(12, 2)$ のとき，$2y+8 = -10$ となり、$y=-9$, $x = \frac{-5y \pm (y+4)}{4}$ = $\frac{-5(-9) \pm (-9+4)}{4}$= $\frac{45\pm (-5)}{4}$,

$x = 10, x =\frac{40}{4}$.

$x = \frac{-5(-9) \pm (-5)}{4}$ = $\frac{45\pm(-5)}{4}$,

$x=10, x= \frac{20}{4}$

$x=10 or 5.$

$y=-9$, so, $(5,-9)$ is solution.

$x = \frac{-5(-3) \pm (-3+4)}{4}$= $\frac{15 \pm 1}{4}$,

$x=4, x=7$

Also if we want integer $x$, $\sqrt{y^2+8y+40}$ needs to be an integer.

解は、$(x, y) = (-3, 1), (5, -3), (14, -9), (7, -5)$ である。

3. 最終的な答え

(1) 9個

(2) $(x, y) = (-3, 1), (5, -3), (14, -9), (7, -5)$